Polinomi di Jacobi
In matematica i polinomi di Jacobi costituiscono una sequenza polinomiale a due parametri e più precisamente costituiscono una successione di polinomi ortogonali a due parametri. Il loro nome ricorda il matematico tedesco Carl Jacobi (1804-1851).
Definizioni
Essi possono definirsi in molti modi equivalenti.
Mediante una serie ipergeometrica che in effetti si riduce a un polinomio:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(\alpha +1)^{\underline {n}}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,n+\lambda ,\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92742d6c38068676b5f389f3334b1aea266b293b)
dove denota il fattoriale crescente e dove .
Mediante la variante della precedente:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(-1)^{n}(\beta +1)^{\underline {n}}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,n+\lambda ,\alpha +1;{\frac {1+z}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394ac0cf8cae016cb2ba218c67bdfca9c82703fc)
Mediante una formula alla Rodriguez:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}\,(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left[(1-z)^{\alpha +n}(1+z)^{\beta +n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c148cc297ff96ff838db8b92f32447dfddc4d87)
Mediante la espressione polinomiale esplicita
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n+\alpha \choose k}{n+\beta \choose n-k}(z-1)^{n-k}(z+1)^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e400356929373bc76fe0f910bffd9e13e6d520)
Come soluzioni polinomiali dell'equazione differenziale di Jacobi.
Per si possono definire come i componenti della successione di polinomi ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso . La corrispondente relazione di ortogonalità è
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{\alpha ,\beta }(x)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)dx={\begin{cases}0,&{\text{se }}m\neq n,\\{\frac {2^{\lambda }\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\lambda )n!\,\Gamma (n+\lambda )}},&{\text{se }}m=n\neq 0,\\{\frac {2^{\lambda }\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\lambda +1)}},&{\text{se }}m=n=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8736357839917502b42a676ef1fdb502342d583b)
Polinomi di Jacobi shiftati
Si tratta di varianti dei precedenti abbastanza modeste ma molto usate; sono definiti come
![{\displaystyle R_{n}^{\alpha ,\beta }(z):=P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(2z-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14fc517b8ba8a26a0676ccac2721c56b5960d44)
Naturalmente anche questi costituiscono una successione di polinomi ortogonali e la relazione di ortogonalità è:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}dx(1-x)^{\alpha }x^{\beta }R_{m}^{\alpha ,\beta }(x)R_{n}^{\alpha ,\beta }(x)={\begin{cases}0,&{\text{se }}m\neq n,\\{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\lambda )n!\,\Gamma (n+\lambda )}},&{\text{se }}m=n\neq 0,\\{\frac {\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\lambda +1)}},&{\text{se }}m=n=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353b2abb7a6ff508760de6530c81c9aec5a386b0)
Collegamenti con altri polinomi speciali
Per si riducono ai polinomi di Legendre.
Per si riducono ai polinomi di Gegenbauer:
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1/2)}(z)={\frac {(2\alpha +1)^{\underline {n}}}{\,}}{(\alpha +1){\underline {n}}}\,P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a01b90052e5bd0661f1da3fe5a8f9be2d01ea74)
Per si riducono ai polinomi di Chebyshev di primo genere:
![{\displaystyle T_{n}(z)={\frac {n!}{(1/2)^{\underline {n}}}}P_{n}^{(-1/2,-1/2)}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe8d8c992222df49a975ea04c3c10aa3567796e)
Espressioni esplicite
I primi polinomi della successione graduale sono:
![{\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edeb728368e6dc988def1e70ff5b2be66dec864e)
![{\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{2}}\left[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5189371212c709f50a42dd8b996959bca8de0e)
![{\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{8}}\left[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43f0a36b49b338a1438300ad2ef65c8db9e9889)
Bibliografia
Collegamenti esterni
|
|