Furono inventati da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley, che pubblicò il primo lavoro su essi nel 1845.
Spesso ci si riferisce a essi come ai numeri di Cayley, agli ottetti di Cayley o all'algebra di Cayley.
Operazioni algebriche
Gli ottetti formano un'algebra a 8 dimensioni non associativa sul campo dei numeri reali e si possono quindi manipolare mediante ottuple (sequenze di lunghezza 8) di numeri reali. Lo spazio vettoriale degli ottetti è costituito dalle combinazioni lineari dei seguenti ottetti: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 e e7. Questi costituiscono una base di elementi invertibili dell'algebra.
Sommare degli ottetti vuol dire sommare i relativi coefficienti, come per i numeri complessi o per i quaternioni, e più in generale i vettori. La moltiplicazione degli ottetti si ottiene per bilinearità dalla matrice di moltiplicazione degli ottetti di base, la cui tabella è presentata qui sotto.
Le sette unità immaginarie e l'unità non costituiscono un gruppo a causa della mancanza di associatività, ma formano comunque un quasigruppo e più precisamente un loop.
Una comoda regoletta mnemonica per ricordare i prodotti degli ottetti unitari è data
dal diagramma del piano di Fano composto da sette punti e sette linee (il cerchio tra i, j, k è considerato una linea). Le linee si devono considerare orientate nel diagramma.
I sette punti corrispondono alle sette unità immaginarie.
Ogni paio di punti distinti giace su un'unica linea e ogni linea passa esattamente da tre punti.
Siano (a, b, c) una tripla ordinata di punti giacenti su una data linea con ordine specificato dalla direzione della freccia. La moltiplicazione è data da:
e2 = −1 per ogni punto del diagramma, definisce completamente la struttura moltiplicativa degli ottetti. Ognuna delle sette linee genera una sottoalgebra di O isomorfa ai quaternioniH.
In particolare sottoalgebre quaternioniche sono generate dalle unità immaginarie con i seguenti indici:
1,2,4
2,3,5
3,4,6
4,5,7
5,6,1
6,7,2
7,1,3
Rappresentazione "matriciale" degli ottetti
Poiché la moltiplicazione degli ottetti non è associativa, contrariamente a quanto accade per i quaternioni non ne esiste una rappresentazione matriciale.
Tuttavia Max Zorn propose una comoda rappresentazione, visivamente simile a quella matriciale, in cui l'ottetto viene decomposto come aggregato di due scalari e due vettori tridimensionali (Algebra di Zorn).
Sia A un generico elemento dell'Algebra di Zorn, detto vettore-matrice o matrice di Zorn:
il prodotto tra due elementi dell'algebra di Zorn si definisce:
Con queste definizioni, si ha che gli ottetti possono essere espressi in forma "matricial-vettoriale" nell'algebra di Zorn.
Si ha che un ottetto X può esser messo nella forma:
dove x e y sono numeri reali e v e w sono vettori in R3.
Si noti la somiglianza con la rappresentazione matriciale dei quaternioni:
dove stavolta x,y,v,w sono tutti numeri reali.
Il "determinante" di una matrice di Zorn si definisce come consueto:
.
Questo determinante è una forma quadratica dell'algebra di Zorn che soddisfa la regola:
Pertanto il determinante della matrice di Zorn associato ad un ottetto è:
Gli ottetti forniscono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile sul campo dei numeri reali. Le uniche algebre a dimensione finita associative sono costituite dai numeri reali stessi (algebra monodimensionale), dai numeri complessi (algebra bidimensionale) e dai quaternioni (algebra quadridimensionale). Mentre già con i quaternioni si perde la commutatività della moltiplicazione, gli ottetti perdono anche l'associatività:
Tuttavia essi sono collegati ad alcune strutture matematiche come i gruppi di Lie eccezionali. Il gruppo degli automorfismi (simmetrici) degli ottetti è il gruppo di Lie G2.
