Il piano di Fano (dal matematico italiano Gino Fano) è il piano proiettivo sul campo finito con due elementi. È il piano proiettivo con meno elementi: contiene infatti 7 punti (ognuno dei quali contenuto in tre rette) e 7 rette (ognuna delle quali contenente tre punti).
Come ogni spazio proiettivo, il piano di Fano può essere descritto attraverso le coordinate omogenee: in questo caso, ogni punto è individuato da una terna di numeri, ognuno dei quali è 0 oppure 1, con l'eccezione della terna (0,0,0), che non determina alcun punto. Di conseguenza, il piano di Fano è rappresentato dalle sette terne (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0) e (1,1,1).
In queste coordinate, dati due punti e , il terzo punto della retta passante per e può essere individuato semplicemente sommando (modulo 2) le coordinate dei due punti.
Per dualità, anche le rette del piano di Fano possono essere rappresentate con le coordinate omogenee attraverso terne di 0 e 1: in questo caso, un punto appartiene ad una retta se il numero di 1 comuni tra le coordinate di e quelle di è pari. Ad esempio, il punto (1,0,1) appartiene alla retta (1,1,1), mentre il punto (1,0,0) no.
Descrizione assiomatica
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