I suoi genitori si trasferirono in California quando Marshall aveva un anno. Dopo gli studi all'Occidental College, frequentò il liceo universitario dove fu compagno di classe di Norma Jean Baker, più tardi conosciuta come Marilyn Monroe.
Nel 1943, Thompson venne scritturato dalla casa produttrice Universal Pictures che intendeva sfruttare il suo gradevole aspetto da bravo ragazzo della porta accanto. Interpretò figure di adolescenti posati e premurosi in alcuni film dell'Universal, e nel 1945 passò alla MGM, dove ottenne ruoli più consistenti in pellicole di prestigio, quali L'ora di New York (1945) di Vincente Minnelli, La valle del destino (1945) di Tay Garnett, e Suprema decisione (1948) di Sam Wood, ottenendo anche una parte da protagonista in Gallant Bess (1946) di Andrew Marton, il primo film della MGM in Cinecolor.
Negli anni sessanta, ormai prossimo alla maturità, Thompson si concentrò sugli impegni televisivi, comparendo in numerose serie quali Angel (1960-1961), e Perry Mason, nell'episodio The Case of the Wayward Wife (1960). Recitò in due film realizzati in Vietnam, Commandos in Vietnam (1964), di cui curò anche la regia, e A un passo dall'inferno (1966). Nel 1965 tornò alla MGM per il ruolo principale nella commedia d'avventura Clarence, il leone strabico (1965), nel quale interpretò il veterinario Marsh Tracy, padre single di una ragazza che ha allevato da solo in Kenya. Il film ispirò poi la serie televisiva Daktari (1966-1969), in cui Thompson interpretò il medesimo ruolo.
Sposato dal 1949 con Barbara Long, Thompson era cognato dell'attore Richard Long (interprete della serie televisiva La grande vallata) con il quale recitò nel film Il culto del cobra (1955).
