Continuità assoluta

In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.

Continuità assoluta delle funzioni reali

In matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale è assolutamente continua se per ogni numero positivo ${\displaystyle \varepsilon }$ piccolo a piacere esiste un numero positivo ${\displaystyle \delta (\varepsilon )}$ tale che per ogni successione (finita o infinita) di sotto-intervalli ${\displaystyle [x_{k},y_{k}]}$ del dominio della funzione tali che

${\displaystyle (x_{k},y_{k})\cap (x_{z},y_{z})=\varnothing ,\qquad {\text{per }}k\neq z,}$

che verificano

${\displaystyle \sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta ,}$

si ha^[1]

${\displaystyle \sum _{k}\left|f(y_{k})-f(x_{k})\right|<\varepsilon .}$

Ogni funzione assolutamente continua risulta a variazione limitata e uniformemente continua e, di conseguenza, continua. Il viceversa non è necessariamente vero: la funzione di Cantor, ad esempio, è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua. Ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua, mentre non è vero il viceversa: ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ per ${\displaystyle x\in [0,1]}$ è assolutamente continua, ma non lipschitziana.

Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue

Dato per ipotesi che una funzione sia a variazione limitata, l'assoluta continuità è condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Una funzione ${\displaystyle f}$ definita sull'intervallo compatto ${\displaystyle [a,b]}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è assolutamente continua se possiede una derivata ${\displaystyle f'}$ definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:

${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt,\qquad \forall x\in [a,b].}$

In modo equivalente, esiste una funzione ${\displaystyle g}$ su ${\displaystyle [a,b]}$ integrabile secondo Lebesgue tale che:

${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt,\qquad \forall x\in [a,b].}$

Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:

${\displaystyle g=f'}$

quasi ovunque.

Generalizzazioni

Sia ${\displaystyle (X,d)}$ uno spazio metrico e ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ un intervallo. Una funzione ${\displaystyle f\colon I\to X}$ è assolutamente continua su ${\displaystyle I}$ se per ogni numero positivo ${\displaystyle \epsilon }$ esiste un numero positivo ${\displaystyle \delta }$ tale che, se una sequenza finita di sotto-intervalli mutuamente disgiunti ${\displaystyle [x_{k},y_{k}]}$ di ${\displaystyle I}$ soddisfa:

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta ,}$

allora:

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .}$

L'insieme delle funzioni assolutamente continue da ${\displaystyle I}$ a ${\displaystyle X}$ è denotato con ${\displaystyle AC(I;X)}$.

Un'ulteriore generalizzazione è lo spazio ${\displaystyle AC^{p}(I;X)}$ delle curve ${\displaystyle f\colon I\to X}$ tali che:

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,\qquad \forall [s,t]\subseteq I}$

per qualche ${\displaystyle m}$ nello spazio ${\displaystyle L^{p}(I)}$.

Continuità assoluta delle misure

Se ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura ${\displaystyle \mu }$ si dice assolutamente continua rispetto a ${\displaystyle \nu }$ se ${\displaystyle \mu (A)=0}$ per ogni insieme ${\displaystyle A}$ per il quale ${\displaystyle \nu (A)=0}$. Questa situazione viene presentata con la scrittura ${\displaystyle \mu \ll \nu }$.^[2]

In modo equivalente, se ${\displaystyle \mu }$ è una misura finita, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle \delta >0}$ tale che

${\displaystyle |\mu (E)|<\varepsilon }$

per ogni insieme ${\displaystyle E}$ della sigma-algebra tale che^[3]

${\displaystyle \nu (E)<\delta .}$

Proprietà

Se esiste un insieme ${\displaystyle B}$ tale per cui:

${\displaystyle \mu (E)=\mu (B\cap E)}$

per ogni insieme ${\displaystyle E}$ della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su ${\displaystyle B}$.

Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se ${\displaystyle \mu _{1}}$ e ${\displaystyle \mu _{2}}$ sono mutuamente singolari si scrive ${\displaystyle \mu _{1}\perp \mu _{2}}$.

Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive ${\displaystyle \mu _{1}\perp \mu _{2}}$ tali che:

${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2},\qquad \mu _{1}\ll \nu ,\qquad \mu _{2}\perp \nu .}$

La decomposizione:

${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$

è detta decomposizione di Lebesgue di ${\displaystyle \mu }$ relativamente a ${\displaystyle \nu }$, ed è unica.^[4]

Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione ${\displaystyle h\in L^{1}(\nu )}$ tale che:

${\displaystyle \mu _{1}(E)=\int _{E}hd\nu }$

per ogni insieme ${\displaystyle E}$ della sigma-algebra. Il teorema stabilisce, in particolare, che esiste una funzione misurabile ${\displaystyle f}$ a valori in ${\displaystyle [0,+\infty ]}$, denotata con:

${\displaystyle f={\frac {d\mu }{d\nu }}}$

tale che per ogni insieme misurabile ${\displaystyle A}$ si ha:

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu }$

La funzione ${\displaystyle f}$ si dice derivata di Radon-Nikodym di ${\displaystyle \mu }$ rispetto ${\displaystyle \nu }$.

Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure

Una misura ${\displaystyle \mu }$ sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione:

${\displaystyle F(x)=\mu ((-\infty ,x])}$

è una funzione reale assolutamente continua.

Note

1. W. Rudin, Pag. 165.
2. W. Rudin, Pag. 121.
3. W. Rudin, Pag. 125.
4. W. Rudin, Pag. 122.

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate

• Continuità uniforme
• Funzione continua
• Misura (matematica)
• Teorema di Radon-Nikodym
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Continuità assoluta, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.P. Terekhin, V.F. Emel'yanov, L.D. Kudryavtsev, V.V. Sazonov, Absolute continuity, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.