Compattificazione di Stone-Čech

La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è uno spazio topologico compatto (indicato con ${\displaystyle \beta X}$) tale che ogni funzione continua da ${\displaystyle X}$ verso uno spazio topologico compatto può essere estesa ad una funzione definita su tutto ${\displaystyle \beta X}$. Generalmente, si assume che ${\displaystyle X}$ sia uno spazio di Tychonoff, perché solo in questo caso ${\displaystyle \beta X}$ estende lo spazio di partenza ${\displaystyle X}$. Fra le varie compattificazioni di uno spazio topologico, quella di Stone-Čech è la "più grande", contrapposta alla compattificazione di Alexandrov, ottenuta aggiungendo un punto solo.

Definizione

La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è uno spazio ${\displaystyle \beta X}$ contenente ${\displaystyle X}$ con queste proprietà:

• ${\displaystyle \beta X}$ è compatto;
• ${\displaystyle X}$ è denso in ${\displaystyle \beta X}$;
• per ogni funzione continua

${\displaystyle f:X\to K}$

a valori in uno spazio compatto di Hausdorff ${\displaystyle K}$ esiste una funzione continua

${\displaystyle f':\beta X\to K}$

che estende ${\displaystyle f}$

L'ultima proprietà può essere descritta dicendo che ${\displaystyle X}$ è C^*-immerso in ${\displaystyle \beta X}$.

Principali proprietà

La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio (mentre la compattificazione di Alexandrov è la più piccola), come indicano le seguenti proprietà:

• è unica a meno di omeomorfismi;
• è l'unico spazio compatto in cui ${\displaystyle X}$ è ${\displaystyle C^{\star }}$-immerso;
• è il più grande spazio in cui ${\displaystyle X}$ è ${\displaystyle C^{\star }}$-immerso.

Formulazioni della compattificazione di Stone-Čech

È possibile formulare la compattificazione di Stone-Čech in diversi modi tra di loro equivalenti: ad esempio, le funzioni continue da ${\displaystyle X}$ all'intervallo chiuso ${\displaystyle [0,1]}$ costituiscono la compattificazione desiderata.

Un'altra possibile formulazione equivalente è la seguente: dato uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ discreto, la compattificazione di Stone-Cech ${\displaystyle \beta X}$ è formata da tutti gli ultrafiltri di X. La base della topologia di ${\displaystyle \beta X}$ possiede come elementi tutti gli ultrafiltri che contengono un dato aperto ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{p\in \beta X|A\in p\}_{A\in {\mathcal {A}}}}$, dove ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sono gli aperti della topologia di ${\displaystyle X}$.

Nel caso di un generico spazio ${\displaystyle X}$ che sia Tychonoff, la compattificazione di Stone-Cech di ${\displaystyle X}$ si può ottenere usando gli insiemi massimali costituiti di zero-insiemi.

Voci correlate

• Topologia
• spazio compatto