In matematica, uno zero-insieme di una funzione è l'insieme formato dai punti in cui la funzione assume valore nullo. Più precisamente, data una funzione
, dove
è un gruppo additivo, lo zero insieme di
è la controimmagine dell'elemento neutro:
![{\displaystyle Z(f)=f^{-1}(0)\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a33600711b2c38f06c0d95558c5f8a18aefac0)
I punti dello zero insieme corrispondono alle radici dell'equazione
; l'insieme complementare di uno zero insieme è detto cozero-insieme, e corrisponde ai punti in cui la funzione assume valore non nullo. Gli zero insiemi sono utilizzati in molti settori della geometria e della topologia; a seconda dell'ambito di applicazione, vengono considerati in relazione a diversi tipi di funzione.
Solitamente l'insieme zero di una trasformazione lineare è detto nucleo.
Topologia
In topologia vengono considerati gli zero insiemi delle funzioni continue, che possiedono alcune importanti caratteristiche: in particolare, gli zero insiemi sono sempre insiemi chiusi, mentre in generale non vale il viceversa; tramite gli zero insiemi è possibile caratterizzare i seguenti assiomi di separazione:
- uno spazio topologico
è completamente regolare se e solo se ogni suo insieme chiuso è l'intersezione di una famiglia di zero insiemi ovvero se e solo se i cozero insiemi formano una base di
;
- uno spazio topologico
è completamente normale se e solo se ogni insieme chiuso è uno zero insieme, ovvero se e solo se ogni insieme aperto è un cozero insieme.
Geometria differenziale
In geometria differenziale si considerano gli zero insiemi di funzioni lisce
; se zero non è un punto critico della funzione, allora lo zero insieme di
definisce una varietà di dimensione
.
Geometria algebrica
In geometria algebrica, lo zero insieme di una famiglia di polinomi è una varietà affine, mentre la proiettivizzazione degli zero insiemi di una famiglia di polinomi omogenei è una varietà proiettiva.
Bibliografia
- (EN) Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 268, 1999.
Voci correlate
Collegamenti esterni