Bipolo

Bipolo

Un bipolo, in elettrotecnica, è un elemento circuitale dotato di due morsetti che gli consentono di interagire con i fenomeni elettromagnetici esterni e il cui comportamento agli effetti esterni è completamente definito dal legame costitutivo tra tensione e corrente.

In automatica è assimilabile a un modello black box il cui comportamento è definito da una funzione di trasferimento.

Le proprietà fondamentali del bipolo sono due: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è, a meno del segno, uguale a quella uscente.

Definizione

Condizioni

La descrizione del campo elettromagnetico è basata sulle equazioni di Maxwell e in particolare la sua dinamica è descritta dalla legge di Faraday e dalla legge di Ampère-Maxwell, rispettivamente:^[1]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

Nel caso di regime stazionario, ovvero a flusso magnetico e flusso elettrico costanti come in corrente continua, le correnti dovute alla variazione del campo elettromagnetico e alla polarizzazione elettrica e magnetica sono nulle quindi le due equazioni possono essere semplificate come segue:^[2]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0\qquad \qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}}$

Queste semplificazioni possono essere ritenute valide anche nel caso sia verificata la condizione di Max Abraham, in un regime variabile infatti, se la lunghezza d'onda del campo elettromagnetico ${\displaystyle \lambda }$ è molto superiore alle dimensioni del sistema elettromagnetico ${\displaystyle \lambda \gg L}$ allora il tempo che il fronte d'onda impiega ad attraversare tutto il sistema può essere considerato nullo e di conseguenza il regime variabile in esame può essere considerato quasi stazionario, semplificazione che consente l'utilizzo delle equazioni di Maxwell trascurando le variabili spaziali e ottenere quindi un modello a parametri concentrati.^[3] Considerato che la corrente alternata è distribuita in Europa, Asia e Africa alla frequenza di 50 Hz (in America e parte del Giappone a 60 Hz) allora la condizione di Max Abraham è rispettata per sistemi con dimensioni molto inferiori a una lunghezza d'onda di circa 6000 km, di conseguenza nelle linee di trasmissione è necessario adottare un modello a parametri distribuiti.^[4]

Bipolo

Bipolo in regime quasi stazionario in cui è evidenziata la superficie chiusa impermeabile ai fenomeni elettromagnetici e la porta elettrica formata dai conduttori con estremi la coppia ordinata di morsetti. Sulla porta elettrica sono anche evidenziate le due superfici di livello ${\displaystyle V_{A}}$ e ${\displaystyle V_{B}}$ e la tensione tra i morsetti ${\displaystyle V_{AB}}$ sul percorso ${\displaystyle \Gamma _{AB}}$, inoltre è evidenziata la corrente entrante ${\displaystyle I_{A}}$ e uscente ${\displaystyle I_{B}}$ con le relative superfici orientate ${\displaystyle \mathbf {S} _{A}}$ e ${\displaystyle \mathbf {S} _{B}}$.

Un bipolo è un elemento costituito dall'unione tra una superficie chiusa e una porta elettrica formata da due conduttori aventi per estremi una coppia ordinata di morsetti ${\displaystyle \{A,B\}}$ in regime quasi stazionario. Da questa definizione derivano le due proprietà fondamentali del bipolo: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è uguale in modulo a quella uscente.^[5]

In regime quasi stazionario il campo elettrico ${\displaystyle \mathbf {E} }$ è un campo vettoriale conservativo infatti ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$ ed è quindi esprimibile come gradiente di un potenziale scalare, il potenziale elettrico: ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$. In forma globale si ha allora che l'integrale tra ${\displaystyle \{A,B\}}$ sul cammino ${\displaystyle \Gamma _{AB}}$ per il teorema del gradiente è:

${\displaystyle \int _{\Gamma _{AB}}\mathbf {E} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {l} }=\int _{A}^{B}-\nabla V\cdot {\mathrm {d} \mathbf {l} }=V_{A}-V_{B}}$

La tensione ${\displaystyle V_{AB}}$ ai morsetti del bipolo allora è pari alla differenza di potenziale elettrico tra le due superfici di livello passanti per i morsetti ${\displaystyle \{A,B\}}$ ed è indipendente dal cammino di integrazione ${\displaystyle \Gamma _{AB}}$.^[6]

In regime quasi stazionario l'unica corrente presente è quella di conduzione che è determinata dal campo di densità di corrente delle cariche libere ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$. Si ottiene allora che la corrente di conduzione ${\displaystyle I_{A}}$ entrante nel morsetto ${\displaystyle A}$ con sezione ${\displaystyle \mathbf {S} _{A}}$ di superficie ${\displaystyle S_{A}}$ e orientamento normale è pari a meno del segno alla corrente ${\displaystyle I_{B}}$ uscente dal morsetto ${\displaystyle B}$ di sezione ${\displaystyle \mathbf {S} _{B}}$:^[6]

${\displaystyle I_{A}=\int _{S_{A}}{\mathbf {J} _{f}}\cdot {\mathrm {d} \mathbf {S} }=-\int _{S_{B}}{\mathbf {J} _{f}}\cdot {\mathrm {d} \mathbf {S} }=-I_{B}}$

Siccome la superficie chiusa del bipolo è impermeabile a ogni fenomeno elettromagnetico allora agli effetti esterni questo è completamente identificato dalla conoscenza della tensione e della corrente ai suoi morsetti, unici punti in cui il bipolo può comunicare attraverso fenomeni elettromagnetici con l'esterno.^[6]

Legame costitutivo

Il comportamento agli effetti esterni di un bipolo è completamente definito dal legame costitutivo che intercorre tra le funzioni rispetto al tempo di tensione ${\displaystyle v(t)}$ e corrente ${\displaystyle i(t)}$. Se il legame è definito da:

${\displaystyle f(V,I)=0}$

allora il bipolo si dice stazionario. Se invece la caratteristica tensione-corrente è della forma:

${\displaystyle f(v(t),i(t),d/dt,\int dt)=0}$

cioè le grandezze variano nel tempo e appaiono derivate e integrali delle tensioni e delle correnti, allora il bipolo è detto dinamico. la caratteristica tensione-corrente del bipolo è in genere rappresentabile con una o più curve nel grafico V-I. Il bipolo stazionario ha una sola caratteristica mentre il bipolo dinamico ne ha infinite a seconda del regime di funzionamento: per esempio imponendo una certa corrente se ne calcola la tensione ai capi (bipolo controllato in corrente). Un altro modo di esprimere la caratteristica è:

${\displaystyle v=f(i)}$

oppure

${\displaystyle i=g(v)}$

Bipolo lineare

Ebbene a seconda della caratteristica il bipolo è lineare se la caratteristica è lineare cioè della forma (per esempio):

${\displaystyle v=k\cdot i}$

Che su un diagramma tensione-corrente rappresenta appunto, una retta passante per l'origine.

Valgono inoltre le proprietà dell'additività e dell'omogeneità (proprietà degli omomorfismi):

${\displaystyle f(i_{1}+i_{2})=f(i_{1})+f(i_{2})}$

${\displaystyle f(\alpha i)=\alpha f(i)}$

con ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.

Analisi termodinamica

Un bipolo è assimilabile a un sistema termodinamico che scambia lavoro elettrico ${\displaystyle L_{e}}$ con l'esterno tramite i suoi morsetti, mentre tramite la sua superficie chiusa scambia lavoro non elettrico ${\displaystyle L}$ in modo reversibile e calore ${\displaystyle Q}$. Secondo il primo principio della termodinamica allora definite l'energia potenziale elettrica ${\displaystyle U_{e}}$ e l'energia magnetica ${\displaystyle U_{m}}$ accumulate nel bipolo si ha che:^[7]

${\displaystyle \delta {L_{e}}=\delta Q+\mathrm {d} U_{e}+\mathrm {d} U_{m}-\delta {L}}$

Definita la potenza elettrica ${\displaystyle p=vi}$ allora il lavoro elettrico scambiato da un bipolo è ${\displaystyle \delta {L_{e}}=p\ \mathrm {d} t=vi\ \mathrm {d} t}$.

Bipoli perfetti

Bipolo resistivo

Bipolo che trasforma irreversibilmente il lavoro elettrico in calore.

${\displaystyle \delta {L_{e}}=\delta Q}$

Il componente elettrico corrispondente è il resistore. Si tratta di un bipolo lineare e passivo in quanto la sua potenza è sempre assorbita. L'energia del resistore è trasformata in calore irreversibilmente per effetto Joule. L'equazione costitutiva che caratterizza un resistore attraversato da una corrente elettrica i e sottoposto ad una tensione elettrica v risulta essere:

${\displaystyle v=Ri}$

Bipolo capacitivo

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia potenziale elettrica.

${\displaystyle \delta {L_{e}}=\mathrm {d} U_{e}}$

Il componente elettrico corrispondente è il condensatore. Tra i bipoli dinamici vi sono i condensatori con caratteristica dinamica:

${\displaystyle i(t)=C\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}}$

dove ${\displaystyle C}$ è la capacità. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo ${\displaystyle t_{0}}$ della tensione. Inoltre il condensatore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere ${\displaystyle p(t)=0}$. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo induttivo

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia magnetica e il componente elettrico corrispondente è l'induttore.

${\displaystyle \delta {L_{e}}=\mathrm {d} U_{m}}$

Il componente elettrico corrispondente è l'induttore. Tra i bipoli dinamici vi sono gli induttori con caratteristica dinamica:

${\displaystyle v(t)=L\cdot {\frac {di(t)}{dt}}}$

dove ${\displaystyle L}$ è l'induttanza. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo ${\displaystyle t_{0}}$ della corrente. Inoltre l'induttore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere ${\displaystyle p(t)=0}$. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo convertitore

Bipolo che trasforma reversibilmente lavoro elettrico in lavoro non elettrico.

${\displaystyle \delta {L_{e}}=-\delta L}$

Il componente elettrico corrispondente è l'utilizzatore nel caso di lavoro elettrico assorbito o il generatore nel caso di lavoro elettrico generato. Gli elementi che forniscono energia sotto forma di tensione sono i generatori: in particolare il generatore di tensione ideale e il generatore di corrente ideale. Essi sono detti ideali perché teoricamente possono fornire tensioni o correnti indefinitamente nel tempo e senza dissipazione. In realtà questo non è mai vero. Le caratteristiche del generatore sono lineari e quindi il bipolo generatore è lineare, inoltre essi possono fornire energia o anche dissiparla e quindi sono bipoli attivi ma anche passivi.

Bipoli attivi e passivi

A seconda della trasformazione energetica o in generale dell'energia associata ad un bipolo, questo può essere attivo o passivo. Consideriamo un bipolo e calcoliamo l'energia tra due istanti di tempo ${\displaystyle t_{0},t}$:

${\displaystyle \Delta W=\int _{t_{0}}^{t}p(t)\,dt}$

ebbene se tale energia è sempre positiva data la convenzione dell'utilizzatore: ${\displaystyle \Delta W\geqslant 0}$ allora il bipolo è detto passivo (strettamente passivo se ${\displaystyle \Delta W>0}$), cioè il bipolo assorbe energia. Viceversa se ${\displaystyle \Delta W\leqslant 0}$ allora il bipolo eroga (ossia attua un assorbimento negativo di energia) ed è detto attivo (strettamente attivo se ${\displaystyle \Delta W<0}$). Il caso ${\displaystyle \Delta W=0}$ è un caso particolare che implica che il bipolo conserva l'energia.

Note

1. Morando, Leva, p. 299.
2. Morando, Leva, p. 304.
3. Morando, Leva, p. 303.
4. Morando, Leva, p. 3.
5. Morando, Leva, pp. 7-8.
6. Morando, Leva, p. 305.
7. Morando, Leva, p. 16.

Bibliografia

• Adriano Paolo Morando e Sonia Leva, Elettrotecnica reti campi, 2ª ed., Bologna, Società Editrice Esculapio, 2001 [1998], ISBN 88-86524-21-8.

Voci correlate

• Morsetto (elettrotecnica)
• Teoria dei circuiti
• Resistore
• Condensatore (elettrotecnica)
• Induttore
• Nullatore
• Noratore
• Energia elettrica
• Tensione elettrica
• Corrente elettrica

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• bipolo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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