Østbø iniziò la sua carriera professionistica con la maglia del Viking. Debuttò nella prima squadra del club il 12 maggio 2008, quando sostituì Thomas Myhre all'inizio del secondo tempo del successo per tre a zero sul Vidar, in un incontro valido per l'edizione stagionale della Coppa di Norvegia.[1]
Nel 2009, passò in prestito al Sandnes Ulf, club all'epoca militante nella Fair Play Ligaen. Nel 2010 tornò però al Viking, a causa dell'arrivo al Sandnes Ulf di Bo Andersen come portiere titolare.[2]
Il 4 ottobre 2010 debuttò nella Tippeligaen: fu infatti titolare nel successo per tre a uno sullo Strømsgodset.[3] L'8 agosto 2012, passò in prestito allo Start.[4] Il 22 febbraio 2013, si trasferì allo Strømmen con la stessa formula.[5]
Il 9 gennaio 2017, Østbø è passato ufficialmente al Rosenborg, formazione a cui si è legato con un contratto triennale.[6]
Il 24 settembre 2019 è stato reso noto il suo ritorno al Viking, in vista della stagione 2020: si è legato al club con un accordo triennale.[7]