Három testvére van: egy bátyja, Jonathan, egy öccse, Paul és egy húga, Margaret.[6] Édesapja Saul Suzman orosz származású vagyonos dohánykereskedő volt, aki egy farmján nevelte fel Suzmant.[7] Suzman angolt és franciát tanult a Witwatersrandi Egyetemen (Johannesburg), mielőtt 1959-ben Londonba emigrált.[8] Felvételt nyert a Londoni Zene- és Színházművészeti Akadémiára, és Manchesterben játszott a Library Színházban, amikor érdeklődést keltett, és átigazolták a Royal Shakespeare Company (RSC) társulatába.[7]
A hatvanas és hetvenes években olyan jelentős shakespeare-i színművek főszerepeit nyerte el, mint A makrancos hölgy Kate-je, Jeanne d’Arc (VI. Henrik), Portia a A velencei kalmárból és Ophelia a Hamletből. Nem kellett sok, hogy a színpadról a televízióba jusson, és az RSC a BBC Play of the Month műsorban sugározza a Három nővért, a Macbethet és a Hedda Gablert.[9] 1971-ben megkapta első filmes főszerepét a Cárok végnapjai című romantikus történelmi filmdrámában, amiért Oscar-díjra jelölték.
Az Antonius és Kleopátra színpadi sikerén felbuzdulva filmre rögzítették, és 1974-ben sugározták a televízióban.[9] Suzman továbbra is a színházi karrierjére összpontosított, és néha vállalt el filmes szerepeket, mint a Black Windmill és az Elkárhozottak utazása. 1981-ben Mexikóban forgatta Ian McKellennelA szerelem oltárán című filmet, amely az angol író, D. H. Lawrence és felesége önkéntes száműzetésének éveiről szól.[7] 1986-ban Suzman elvált férjétől, a rendező Trevor Nunntól, és egyedül nevelte közös fiúkat, Josht. A színészkedéstől visszavonulva a rendezői székbe telepedett, a mai napig a színházban tevékenykedik (2017).[7]
