Erősen kotóciens számok

A matematika, azon belül a számelmélet területén egy erősen kotóciens szám (highly cototient number) olyan k>1 egész szám, amire több megoldása van a következő egyenletnek:

x − φ(x) = k,

mint bármely 1<n<k egész szám esetében, tehát ami több számnak kotóciense, mint bármely nála kisebb 1-nél nagyobb egész. Az egyenletben φ az Euler-függvényt jelöli. Mivel a k = 1 esetben az egyenletnek végtelen sok megoldása van, ezért ezt az értéket kihagyták a definícióból. Az első néhány erősen kotóciens szám:^[1]

2, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889, 2099 ... (A100827 sorozat az OEIS-ben)

A fenti számok között jóval több a páratlan, mint a páros. Valójában minden 8-nál nagyobb erősen kotóciens szám páratlan és 167 után az összes 29-et ad maradékul 30-cal való osztásnál (kongruens 29 mod 30); ez annak a következménye, hogy 8 fölött mindegyik kongruens −1-gyel modulo valamely primoriális.

A koncepció emlékeztet az erősen összetett számokéra. Végtelen sok erősen kotóciens szám létezik, bár megtalálni egyre nehezebb őket, hiszen az Euler-függvény értékének kiszámításához szükséges prímfelbontásokat kell végezni, ami a számok növekedésével nagyon nehézzé válik.

Példa

Az x kotóciense definíció szerint x – φ(x), tehát az x-nél nem nagyobb, vele legalább egy közös prímtényezővel rendelkező számok száma. Például a 6 kotóciense 4, mivel a következő 4 pozitív egésznek van legalább egy közös prímtényezője 6-tal: 2, 3, 4, 6. A 8 kotóciense szintén 4, itt az egészek: 2, 4, 6, 8. Pontosan ennek a két számnak, a 6-nak és a 8-nak 4 a kotóciense. Kevesebb számnak 2 vagy 3 a kotóciense (mindkét esetben 1), ezért a 4 erősen kotóciens szám.

(A063740 sorozat az OEIS-ben)

k (minden erősen kotóciens k félkövérrel szedve)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
A x – φ(x) = k megoldásainak száma	1	∞	1	1	2	1	1	2	3	2	0	2	3	2	1	2	3	3	1	3	1	3	1	4	4	3	0	4	1	4	3

Prímek

Az első néhány erősen kotóciens szám, ami egyben prímszám is:^[2]

2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4409, 5879, 6089, 6719, 9029, 9239, ... (A105440 sorozat az OEIS-ben)

Jegyzetek

1. "Sloane's A100827 : Highly cototient numbers", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. .
2. "Sloane's A105440 : Highly cototient numbers that are prime", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.