Jordan-függvény

A számelméletben egy n ${\displaystyle J_{k}(n)}$ Jordan-függvénye rögzített k pozitív egész esetén azoknak a k-asoknak a száma, amelyekben minden szám pozitív egész, és legfeljebb n, továbbá a benne levő számok n-nel együtt relatív prím k + 1-est alkotnak. Ez az Euler-függvény általánosítása, ami J₁. A függvényt Camille Jordan után nevezték el.

Tulajdonságok

A Jordan-függvény multiplikatív, és értéke

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right).\,}$

${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$,

ami a Dirichlet-konvolúcióval

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

és Möbius-inverzióval

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$.

Mivel μ Dirichlet-generátorfüggvénye 1/ζ(s) és n^k Dirichlet-generátorfüggvénye ζ(s-k), azért a J_k sora

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$.

A J_k(n) átlagrendje

${\displaystyle {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$.

A Dedekind-féle pszi-függvény kifejezhető Jordan-függvénnyel:

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$,

és a definícióra való tekintettel, felismerve, hogy minden tényező a prímek feletti szorzatban a p^-k körosztási polinomja igazolható, hogy ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ vagy ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$ egész értékű multiplikatív függvény.

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$.      ^[1]

Mátrixcsoportok rendje

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok általános lineáris csoportjának rendje^[2]

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok speciális lineáris csoportjának rendje

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok szimplektikus csoportjának rendje

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

Az első két képletet még Jordan fedezte fel.

Példák

Explicit listák az OEIS-ben J₂  A007434, J₃  A059376, J₄  A059377, J₅  A059378, J₆-tól J₁₀-ig  A069091 egészen  A069095-ig.

Az arányokkal definiált multiplikatív függvények J₂(n)/J₁(n)  A001615, J₃(n)/J₁(n)  A160889, J₄(n)/J₁(n)  A160891, J₅(n)/J₁(n)  A160893, J₆(n)/J₁(n)  A160895, J₇(n)/J₁(n)  A160897, J₈(n)/J₁(n)  A160908, J₉(n)/J₁(n)  A160953, J₁₀(n)/J₁(n)  A160957, J₁₁(n)/J₁(n)  A160960.

A J_2k(n)/J_k(n) arányokra példák: J₄(n)/J₂(n)  A065958, J₆(n)/J₃(n)  A065959, és J₈(n)/J₄(n)  A065960.

Jegyzetek

1. Holden et al in external links The formula is Gegenbauer's
2. Andrici és Priticari

Források

• L. E. Dickson. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Chelsea Publishing, 147. o. [1919] (1971). ISBN 0-8284-0086-5 
• M. Ram Murty. Problems in Analytic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 11. o. (2001). ISBN 0-387-95143-1 
• Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic, 32–36. o. (2004). ISBN 1-4020-2546-7 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Jordan's totient function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.