Diffúziós Monte-Carlo-módszer

A diffúziós Monte-Carlo-módszer (DMC) egy kvantum Monte-Carlo-módszer, mely a Green-függvényt használja a Schrödinger-egyenlet megoldására.^[1] A DMC numerikusan egzakt eljárás, ami azt jelenti, hogy megtalálja az egzakt alapállapotú energiákat egy adott hibahatáron belül bármely kvantumrendszernél.^[2] A gyakorlati számításnál, bozonok esetében, az algoritmus polinomokkal fejezi ki a rendszer méretét, míg fermionok esetében exponenciális kifejezésekkel operál. Ezért igen nagy egzakt szimulációk nem lehetségesek fermionok esetében, ennek ellenére megfelelő (fix-csomópontos) közelítésekkel egész jó eredmények érhetők el.

A projektor módszer

Tekintsük a Schrödinger-egyenletet egy részecskére egy dimenzióban:

${\displaystyle i{\frac {d\Psi (x,t)}{dt}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\Psi (x,t)}{dx^{2}}}+V(x)\Psi (x,t).}$

Sűríthetjük a kifejezést egy kissé operátor egyenletként felírva:

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)}$.

így kapjuk:

${\displaystyle i{\frac {d\Psi (x,t)}{dt}}=H\Psi (x,t),}$

Ahol H egy operátor, és nem egy egyszerű szám vagy függvény. Vannak speciális függvények, a sajátfüggvények, melyekre igaz: ${\displaystyle H\Psi (x)=E\Psi (x)}$, ahol E egy szám. Ezek azért speciálisak, mert nem számít, hol alkalmazzuk a H operátort a hullámfüggvényre, mindig ugyanazt az E számot kapjuk. Ezeket a függvényeket állandó állapotoknak hívják, mert az idő szerinti deriváltjaik bármely x pontban ugyanaz, úgy hogy a hullámfüggvény amplitúdója sosem változik az időben. Mivel a hullámfüggvény fázisa nem mérhető, a rendszer nem változik az időben. Általában a hullámfüggvény a legalacsonyabb sajátérték energia állapotban érdekes számunkra, vagyis az alapállapotban. Egy kissé más verzióját írjuk fel a Schrödinger-egyenletnek, melynek hasonló energia sajátértéke van, de ez nem oszcillál, hanem konvergens.:

${\displaystyle -{\frac {d\Psi (x,t)}{dt}}=(H-E_{0})\Psi (x,t)}$.

A képzetes számot eltávolítottuk a deriváltból, és egy ${\displaystyle E_{0}}$ offset állandót adtunk hozzá., mely az alapállapotú energia. Nem ismerjük az aktuális alapállapotú energiát, de lesz rá mód, hogy meghatározzuk. A módosított egyenlet (hívják még: képzetes idejű Schrödinger-egyenletnek) van néhány érdekes tulajdonsága. Először is ha becsülni akarnánk az alapállapotú hullámfüggvényt, akkor

${\displaystyle H\Phi _{0}(x)=E_{0}\Phi _{0}(x)}$

és az idő szerinti derivált zéró. Tegyük fel, hogy egy másik hullámfüggvénnyel indulunk (${\displaystyle \Psi }$), mely nem alapállapotú, de nem is ortogonális hozzá. Ekkor felírhatjuk, mint a sajátfüggvény egy lineáris összegét:

${\displaystyle \Psi =c_{0}\Phi _{0}+\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}\Phi _{i}}$

Mivel ez egy lineáris differenciálegyenlet, minden részt külön tekinthetünk. Már eldöntöttük, hogy a ${\displaystyle \Phi _{0}}$ állandó. Vegyük a ${\displaystyle \Phi _{1}}$-t. Mivel ${\displaystyle \Phi _{0}}$ a legalacsonyabb energia sajátfüggvény, a kapcsolódó sajátfüggvény ${\displaystyle \Phi _{1}}$-t kielégíti a : ${\displaystyle E_{1}>E_{0}}$. tulajdonságot. Ezért a ${\displaystyle c_{1}}$ deriváltja negatív, és végül tart a zéróhoz. Ez elvezet az ${\displaystyle E_{0}}$ meghatározásához. Megfigyelhetjük a hullámfüggvény amplitúdóját az idő múlásával. Ha nő, akkor csökken az offset energia becsült értéke, ha pedig csökken az amplitúdó, akkor nő az offset energia becsült értéke.

Sztochasztikus implementáció

Most már van egy egyenletünk, mely az idő múlásával és az ${\displaystyle E_{0}}$ megfelelő beállításával, megtalálhatjuk bármely adott Hamilton-operátor alapállapotát. Ez még mindig egy nehezebb feladat, mint a klasszikus mechanika, de ahelyett, hogy egyedi részecskék terjedésével foglalkoznánk, a teljes függvény terjedését kell vizsgálnunk. A klasszikus mechanikában, szimulálhatjuk a részecskék mozgását a következő állítással: ${\displaystyle x(t+\tau )=x(t)+\tau v(t)+0.5F(t)\tau ^{2}}$, ha feltételezzük, hogy a teljes ${\displaystyle \tau }$ idő alatt az erő állandó. A képzetes idejű Schrödinger-egyenletnél ehelyett a konvolúciós integrált használunk egy speciális függvénnyel, mely a Green-függvény, így kapjuk: ${\displaystyle \Psi (x,t+\tau )=\int G(x,x',\tau )\Psi (x',t)dx'}$. hasonlóan a klasszikus mechanikához, csak kis időtartományokkal haladunk előre, máskülönben a Green-függvény nem lesz pontos. Amint a részecskék száma nő, az integrál dimenziói is nőnek, mivel az összes részecske minden koordinátájában kell integrálni. Az integrálást a Monte-Carlo-integrálással végezhetjük el.

Irodalom

• B.L. Hammond, W.A Lester, Jr. & P.J. Reynolds: Monte Carlo Methods in Ab Initio Quantum Chemistry. (hely nélkül): World Scientific. 1994.  

Kapcsolódó szócikkek

• Green-függvény
• Fermion
• Bozon
• Monte-Carlo-módszer
• Kvantumrendszer
• Valószínűségszámítás
• Schrödinger-egyenlet
• Sajátfüggvény
• Hullámfüggvény

Források

1. Erwin Schrödinger, "The Present situation in Quantum Mechanics," p. 9 of 22. The English version was translated by John D. Trimmer. The translation first appeared first in in Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323-38. It later appeared as Section I.11 of Part I of Quantum Theory and Measurement by J.A. Wheeler and W.H. Zurek, eds., Princeton University Press, New Jersey 1983).
2. B.L. Hammond, W.A Lester, Jr. & P.J. Reynolds "Monte Carlo Methods in Ab Initio Quantum Chemistry" (World Scientific, 1994)s by Monte Carlo.