Derivált

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.

A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény

• menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
• szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
• grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
• a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
• a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.

A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre,^[1] alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.

Pontos definíció és jelölések

Legyen f egyváltozós valós függvény, x₀ az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x₀-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán^[2] a

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).^[3]

Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:

${\displaystyle f'(x_{0})\,}$, vagy ${\displaystyle {\frac {df(x_{0})}{dx}}}$, vagy ${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x=x_{0}}}$

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: ${\displaystyle \scriptstyle {\dot {v}}}$ és fluxiónak nevezte.^[4]

Rögzített x esetén az

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados ${\displaystyle x\to x_{0}}$ melletti határértéke.

A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}+0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{h\to 0+0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$ határérték létezik és véges.

A bal oldali derivált akkor létezik, ha a ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{h\to 0-0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$ határérték létezik és véges.

Magyarázat

Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:

${\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ illetve ${\displaystyle \lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.

Mechanikai értelmezés

A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

${\displaystyle {\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}\,}$

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

${\displaystyle v(t)=\lim \limits _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}\,={\dot {s}}(t)}$

Az ${\displaystyle \scriptstyle {{\dot {s}}(t)}}$ pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

Geometriai értelmezés

Legyen ${\displaystyle f}$ egyváltozós valós differenciálható függvény, ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle x_{0}}$ egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje ${\displaystyle f(x)=y}$ és ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$. Ekkor a koordinátasíkon az ${\displaystyle (x;y)}$ és ${\displaystyle (x_{0};y_{0})}$ pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ differenciahányados. Ha ${\displaystyle x}$ tart ${\displaystyle x_{0}}$-hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az ${\displaystyle x_{0}}$ -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény ${\displaystyle x_{0}}$-beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon ${\displaystyle x_{0}}$-beli érintőjének meredekségét adja meg.

Kiszámítása

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;x\mapsto x^{3}}$

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:

${\displaystyle {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{3}-x^{3}}{\Delta x}}=}$

${\displaystyle ={\frac {(x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3})-x^{3}}{\Delta x}}=}$

${\displaystyle ={\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}}$

Vagyis a derivált:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}}$

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}(3x^{2}+3x\cdot \Delta x+(\Delta x)^{2})}$

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.

Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}+3x\cdot 0+0^{2}\,}$

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}\,}$

Elemi függvények deriváltjai

Függvény neve	jele	deriváltja
konstans	${\displaystyle c\,}$	${\displaystyle 0\,}$
konstans szorzó	${\displaystyle c\cdot x\,}$	${\displaystyle c\,}$
konstans alap, függvény kitevő	${\displaystyle a^{x}\,}$	${\displaystyle a^{x}\cdot ln|a|}$
hatvány	${\displaystyle x^{c}\,}$	${\displaystyle c\cdot x^{c-1}\,}$
exponenciális (e az Euler-féle szám)	${\displaystyle e^{x}\,}$	${\displaystyle e^{x}\,}$
természetes logaritmus	${\displaystyle \operatorname {ln} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{x}}\,}$
logaritmus (a pozitív és nem 1)	${\displaystyle \log _{a}x\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{x\,\operatorname {ln} \,a}}={\frac {\log _{a}e}{x}}}$
Trigonometrikus függvények
szinusz	${\displaystyle \sin x\,}$	${\displaystyle \cos x\,}$
koszinusz	${\displaystyle \cos x\,}$	${\displaystyle -\sin x\,}$
tangens	${\displaystyle \operatorname {tg} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatorname {tg} ^{2}x}$
kotangens	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\operatorname {ctg} ^{2}x}$
Hiperbolikus függvények
hiperbolikus szinusz	${\displaystyle \operatorname {sh} \,x}$	${\displaystyle \operatorname {ch} \,x}$
hiperbolikus koszinusz	${\displaystyle \operatorname {ch} \,x}$	${\displaystyle \operatorname {sh} \,x}$
hiperbolikus tangens	${\displaystyle \operatorname {th} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}=1-\operatorname {th} ^{2}x}$
hiperbolikus kotangens	${\displaystyle \operatorname {cth} \,x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}=1-\operatorname {cth} ^{2}x}$
Inverz trigonometrikus függvények
arkusz szinusz	${\displaystyle \operatorname {arcsin} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
arkusz koszinusz	${\displaystyle \operatorname {arccos} \,x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
arkusz tangens	${\displaystyle \operatorname {arctg} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$
arkusz kotangens	${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}$
Inverz hiperbolikus függvények
area hiperbolikus szinusz	${\displaystyle \operatorname {arsh} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$
area hiperbolikus koszinusz	${\displaystyle \operatorname {arch} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
area hiperbolikus tangens	${\displaystyle \operatorname {arth} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$
area hiperbolikus kotangens	${\displaystyle \operatorname {arcth} \,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$

Műveletek deriváltjai

Művelet	Deriváltja
${\displaystyle (c\cdot f(x))'}$	${\displaystyle c\cdot f'(x)}$
${\displaystyle (f(x)\pm g(x))'}$	${\displaystyle f'(x)\pm g'(x)}$
${\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'}$	${\displaystyle f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$
${\displaystyle {\biggl (}{f(x) \over g(x)}{\biggr )}'}$	${\displaystyle {f'(x)g(x)-f(x)g'(x) \over g^{2}(x)}}$
${\displaystyle (f_{(g(x))})'}$	${\displaystyle f'_{(g(x))}\cdot g'(x)}$
${\displaystyle ((f(x))^{g(x)})'}$	${\displaystyle {\Bigl (}e^{\ln f(x)^{g(x)}}{\Bigr )}'={\Bigl (}e^{g(x)\ln f(x)}{\Bigr )}'=f(x)^{g(x)}{\Bigl (}g'(x)\ln f(x)+g(x){1 \over f(x)}f'(x){\Bigr )}}$

Jegyzetek

1. Az alapfogalmak kiváló feldolgozása megtalálható például a következő alapműben: Spivak, Michael, Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, 1994, ISBN 978-0-914098-89-8
2. A differenciálhányados inkább egy pontbeli értéket jelent, a derivált pedig az ezekből álló függvényt. A megkülönböztetés azonban annyira jelentéktelen, hogy a szakirodalomban is összemosódik.
3. Lásd Bátkai András, Differenciálszámítás, ELTE jegyzet Archiválva 2009. október 7-i dátummal a Wayback Machine-ben.
4. Differential calculus, derivative entry in Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Jeff Miller & al

További információk

• Magyarított Flash animáció a derivált geometriai jelentéséről a szinuszfüggvény példáján Archiválva 2012. szeptember 26-i dátummal a Wayback Machine-ben. Szerző: David M. Harrison

Kapcsolódó szócikkek

• Parciális derivált