Hamilton-operátor

A Hamilton-operátor a kvantummechanikában a rendszer kanonikus változókkal (koordinátákkal és hozzájuk konjugált impulzusokkal) kifejezett energiájának az operátora.

A klasszikus mechanikai ${\displaystyle H=H(p_{i},x_{i})}$ Hamilton-függvényből egyszerűbb esetekben a ${\displaystyle x_{i}\to {\hat {x_{i}}},\ p_{i}\to {\hat {p_{i}}}}$ helyettesítéssel ("operátorosítás") kapjuk. Koordinátareprezentációban ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}=x_{i}}$ és ${\displaystyle \,{\hat {p_{i}}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$, ahol ${\displaystyle i}$ az imaginárius egység, ${\displaystyle \hbar }$ pedig a redukált Planck-állandó. Ahogy a klasszikus mechanikában, a Hamilton-operátor a kvantummechanikában is mozgási és potenciális energia összegeként írható fel: ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}}$.

Példák

Ebben a szakaszban a tömeget ${\displaystyle m}$ fogja jelölni.

Szabad részecskék

Egy szabad részecske Hamilton-operátora egy dimenzióban:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$,

magasabb dimenziókban pedig a Laplace-operátorral a következőképpen általánosítható:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$.

Amennyiben több szabad (${\displaystyle m_{i}}$ tömegű) részecske alkot egy rendszert, melyek nincsenek egymással kölcsönhatásban, a rendszer Hamilton-operátora az egyes részecskék Hamilton-operátorainak összege:

${\displaystyle {\hat {H}}=-\hbar ^{2}\sum _{i}{\frac {\Delta _{i}}{2m_{i}}}}$.

Harmonikus oszcillátor

Harmonikus rezgőmozgás esetén a klasszikus Hamilton-függvény a következő potenciális energiával bővül:

${\displaystyle V={\frac {k}{2}}|{\vec {x}}|^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}|{\vec {x}}|^{2}}$,

ahol ${\displaystyle \omega }$ a körfrekvenciát, ${\displaystyle k}$ pedig a rugóállandót jelöli. Három dimenzióban a kvantizálást követően a Hamilton-operátor a következő alakot veszi fel:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +{\frac {m\omega ^{2}}{2}}|{\hat {\vec {x}}}|^{2}}$.

Az operátor linearitása miatt látható, hogy a harmonikus oszcillátor háromdimenziós problémáját egydimenziós problémákra lehet szétválasztani.

Egy dimenzióban a keltő- és eltüntető operátorokat definiálva

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left({\hat {x}}-{\frac {i{\hat {p}}}{m\omega }}\right),\qquad {\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left({\hat {x}}+{\frac {i{\hat {p}}}{m\omega }}\right)}$,

a Hamilton-operátor a következő alakra hozható:

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)}$,

ahol ${\displaystyle n}$ az úgy nevezett részecskeszám operátor.

Források

• L.D. Landau, E.M. Lifsic. Elméleti fizika III. – Kvantummechanika, Harmadik kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest. ISBN 963 17 3259 2 [1978] 
• J.J. Sakurai, J. Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 2. kiadás, Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8291-4 [2011]