1987-ben lett gokartversenyező. Hazája bajnokságágán túl észak-amerikai és európai sorozatokban is részt vett. Három alkalommal (1993, 1994, 1995) nyerte meg a brit bajnokságot, valamint egyszer az olasz bajnokságot. Második helyezett volt az 1996-os Formula A Európa-bajnokságon.
1999-ben és 2000-ben Formula Ford futamokon versenyzett. Második évadjában második helyezett lett a brit Formula Ford bajnokságban, megnyerte a Formula Ford fesztivált Brands Hatchben és megkapta a McLaren év felfedezettje díját.
2001-ben a brit Formula–3-as bajnokságban szerepelt, ahol csapattársa, Szató Takuma mögött a második helyen zárta az összetett értékelést.
2000 decemberében aláírt a BAR-istállóval a csapat tesztpliótai szerepéről.[1] Anthony így a 2001-es és a 2002-es szezon alatt az alakulat egyik tesztversenyzője volt. A 2002-es idény közepén azonban a Minardi-istálló megelégelte versenyzője, Alex Yoong gyenge szereplését, és miután a maláj versenyző német nagydíjon sem tudta kvalifikálni magát a futamra, a csapat Davidsont kérte fel a helyére. Eredeti tervek szerint a szintén brit Justin Wilson kapta volna meg ezt a lehetőséget, ám magassága akadályt jelentett számára a Minardi PS02-es vezetésében.[2] Anthony két futamon vehetett részt, azonban mind a magyar, mind a belga versenyen kiesett, mindkétszer saját hibájából. Az olasz nagydíjon már újra Yoong vezette a csapat autóját.
2004-ben és 2005-ben is a BAR tesztpilótája volt. A 2004-es szezon összes versenyén jelen volt mint harmadik számú pilóta. Minden alkalommal részt vett a futamokat megelőző pénteki szabadedzéseken, ahol több alkalommal ő volt a leggyorsabb, és az edzések nagy részében a mezőny elejében zárt. A 2005-ös idényben már csak mint tesztpilóta szerepelt az alakulatnál, valamint indult egy futamon. Szatót helyettesítette a maláj nagydíjon ám két kör megtétele után motorhiba miatt kiesett.
A BAR-istálló 2006-ra megszűnt és helyét a Honda vette át a sorozatban. Davidson az új néven szereplő csapatnál maradt és a 2004-es évhez hasonlóan ezúttal is a futamokat megelőző szabadedzéseken vett részt. Ezeken a teszteken többször ő volt a leggyorsabb.
Super Aguri
2006 novemberében a Super Aguri bejelentette, hogy Szató mellett Anthony lesz a csapat másik pilótája a 2007-es szezonban.[3] Az év folyamán egyszer sem végzett pontszerző helyen, legjobb eredménye három tizenegyedik pozíció a spanyol, a kanadai és az amerikai nagydíjakról. 2008-ban is maradt csapat versenyzője, ám csak a szezon első négy futamán vett részt. A spanyol verseny után ugyanis a Super Aguri anyagi problémákra hivatkozva kiszállt a Formula–1-ből.[4]
Peugeot 908-asban a 2010-es Spa-i 1000 kilométeres versenyen
Davidson már 2003-ban is részt vett hosszútávú futamokon. Jelen volt a Le Mans-i 24 óráson, valamint az Amerikai Le Mans széria két futamán is indult. Formula–1-es karrierje alatt azonban nem vett részt ilyen versenyeken, majd 2009-ben az Aston Martin Racing alakulatában, Jos Verstappen és Darren Turner társaként újfent rajthoz állt a Le Mans-i 24 óráson.
2011-re továbbra is a Peugeot 908-asával versenyzett és 3 alkalommal ért fel a dobogó legfelső fokára, ezzel is segítve a gyártót az Interkontinentális Le Mans-kupa megnyeréséhez.[5] Ezt követően az alakulat kiszállt a sportautózásból és Davidson 2012-ben aláírt az újonnan megalapult WEC-be a gyári Toyotához.[6] A Le Mans-i 24 óráson összeért Piergiuseppe Perazzini AF Corse Ferrari 458 Italia GTC-jével, majd a Toyota TS030 hibridje a levegőbe emelkedett és nagy erővel a szalagkorlátnak csapódott.[7] Davidsont kórházba szállították, ahol megállapították, hogy a hátának tizenegyedik és tizenkettedik mellkasi csigolyája eltört.[8] Egy évvel később minden futamon rajthoz állt és egy összetett 3., valamint egy Le Mans-i 2. helyet ért el Sébastien Buemi és Stéphane Sarrazin társaként.[9]
2014-ben a vadonatúj TS040 Hybrid volánja mögött négy győzelemmel és további három pódiummal egyéni bajnokká avanzsált Buemi mellett.[10] Következő győzelmét csak két szezonnal később, a 2017-es évadnyitó Silverstone-i 6 óráson ünnepelhette.[11] A COTA versenyt "személyes okokra" hivatkozva kihagyta.[12] A 2018–19-es "szuperszezonra"Fernando Alonso váltotta,[13] viszont a japán márka továbbra is számított Davidsonra, akit teszt- és tartalékpilótának alkalmaztak.[14] A kiírás harmadik fordulójától az LMP2-es DragonSpeeddel állt rajthoz,[15] majd ezt követően a Jota csapatához szerződött.[16] 2021. október 30-án a bahreini 6 órást követően bejelentette visszavonulását.[17][18]