נולדה בשם נטשה סילנטיבה, בעיר אוליאנובסק שבברית-המועצות (כיום ברוסיה), אביה עבד במפעל ואמה הייתה מורה לגרמנית. באוליאנובסק סיימה תואר שני במשפטים ועברה התמחות בפרקליטות, אבל כיוון שעריכת דין לא התאימה לה, חיפשה לעשות משהו אחר. היא עברה למוסקבה ולמדה ביקורת קולנוע בבית הספר הגבוה לקולנוע, אבל אחרי שהתחברה עם חבורת שחקנים, חשבה שמשחק זה המקצוע המתאים עבורה, היא פרשה מלימודי הביקורת אחרי שנה וחצי ועברה ללמוד תיאטרון. מכיוון שבמוסקבה לא קיבלו אותה ללימודי משחק עברה ללמוד בסנקט פטרבורג ובשנה השנייה ללימודיה קיבלה תפקיד ראשי בהצגה שביים יבגני אריה של המחזאי הגרמני פון ויזן. שם פגשה את הבמאי והשחקן היהודי איגור וויטלוביץ', הם נישאו ועברו לאקדמיה לתיאטרון במוסקבה, שם המשיכה בלימודיה וסיימה לימודי משחק ובימוי וזכתה במדליית זהב על הישגיה. בשנה השנייה ללימודיה למדה בתיאטרון אקדמאי על-שם מייקובסקי עם כוכבים מהשורה הראשונה ובמקביל עבדה בתיאטרון (1990-1986) וזכתה בפרס השחקנית המבטיחה. לימדו אותה אנדריי גונצ'ארוב – במאי תיאטרון מייקובסקי ומארק זכארוב – במאי הבית של תיאטרון לנקום, בנוסף אליהם לימד אותה יבגני אריה. כשאריה עלה לישראל בדצמבר, מנור שהחליטה שהוא הבמאי שעימו היא רוצה לעבוד ועלתה בעקבותיו בתחילת שנת 1991, יחד עם בעלה, ועם חבריה לכיתה סשה דמידוב ואיגור מירקורבנוב.
לאחר עלייתה ארצה הצטרפה לקבוצת השחקנים שהקימו את תיאטרון "גשר" ושיחקה בו החל מההצגה הראשונה שלו, "רוזנקרנץ וגילדנשטרן מתים", מאת טום סטופרד. ההצגה הייתה ברוסית עם תרגום לעברית, אחר-כך הייתה גרסה בעברית והציגה באקדמיה למוזיקה בברוקלין בניו יורק וזכתה לביקורת עתירת שבחים בניו יורק טיימס.
בעלה, איגור וויטולויץ', לא נקלט בישראל, השניים התגרשו והוא שב לרוסיה.
ב-1993 פגשה את האדריכל ואיש העסקים יליד רוסיה גד מנור, הם נישאו והיא התגיירהגיור רפורמי.
מאז הופיעה בתיאטרון גשר בהצגות רבות, בעיקר בתפקידים ראשיים.
היא הייתה במאית משנה של יבגני אריה ב"טרטיף" שהועלתה בשנת 2009, בהצגה קודמת של "טרטיף", משנת 1995, השתתפה כשחקנית בתפקיד אלמיר.
החל מ-2002 מנחה מנור בערוץ 9 הרוסי את תוכנית הדגל של הערוץ, "שבע וארבעים", הקרויה על-שם שיר מפורסם בשם זה ומכיוון שהתוכנית מתחילה בפריים טיים, בשעה שבע וארבעים בערב שישי. זוהי תוכנית אירוח הדומה למעגל שהייתה לדן שילון בה נוטלים חלק פוליטיקאים, זמרים, שחקנים, ידוענים ועוד והיא רווית הומור, כל תוכנית נפתחת במערכון קומי ומשלבת ראיונות עם הופעות, מנור מגישה את התוכנית ביחד עם יאן לוינזון. התוכנית משודרת גם בארצות הברית, קנדה, רוסיה, אוסטרליה, גרמניה ואוקראינה מנור זכתה בפרס הטלוויזיה על התוכנית. מנור זכתה בפרס טלוויזיה נוסף כשחקנית הטובה בשנה.
נטשה מנור זכתה בפרס שחקנית השנה בפסטיבל עכו ותיאטרונטו 2007 עבור הצגת היחיד בכיכובה "ככה זה קרה" בעיבודו ובבימויו של יורם פאלק, המבוססת על סיפור מאת נטליה גינצבורג. היא מגלמת את דמותה של אשתו של אלברטו, שנישאת לו אף על פי שהיא יודעת שהוא בוגד בה עם ג'ובאנה, היא אוהבת את אלברטו ומוכנה לסלוח לו, היא מאבדת את ילדתה ובסוף נשברת, יורה בו והורגת אותו.
ב-2010 כיכבה מנור במחזה "הרי את לעצמך", לצידן של מיכל ויינברג וסבטלנה דמידוב. זהו מונולוג של שש נשים שהתגרשו ומספרות על חייהן, המחזה מבוסס על סיפורים אמיתיים שתועדו בספרה של שולמית ולפיש, אבל הטקסטים נערכו ובוימו על ידי יורם פאלק.
מנור מופיעה משנת 2000 בשירת רומנסות רוסיות וצועניות ושירי עם רוסיים יחד עם להקה ברחבי ישראל. היא הופיעה עם הלהקה
בפסטיבלים שונים, כמו בפסטיבל אישה 2012. אתה הרומנסות ליקטה מנור בעצמה במקומות שונים.
בפברואר 2013 הועלתה ההצגה "וואסה" (ואוס ז'לזנובה) מאת מקסים גורקי בתיאטרון גשר בבימויה של מנור.
החל מ-2018 משתתפת בסדרת הרשת המצליחה של אורי יניב "הרומן שלי עם דאעש" בתפקיד אמו של רומן, גיבור הסדרה.הרומן שלי עם דאעש - YouTube, באתר www.youtube.com ובנוסף משחקת בסדרה משיח בתור טניה.
נטשה מנור הופיעה בלמעלה מ-25 סרטים וסדרות טלוויזיה.
בנה, דן מנור, מופיע כדוגמן בפרסומות ומשתתף בסרטים. השניים כיכבו יחד בפרסומת לביטוח לאומי כשהיה בן חודש וחצי.
