המשפט היסודי של האלגברה

ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. זה כולל כמובן פולינומים עם מקדמים ממשיים שכן כל מספר ממשי הוא בפרט מרוכב עם חלק מדומה 0. ניסוח שקול של משפט זה הוא ששדה המספרים המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית. שימוש חשוב של משפט זה, שהוא למעשה ניסוח שקול שלו, אומר כי כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לכתוב כמכפלה של גורמים ליניאריים.

לעומת שמו של המשפט, אין לו הוכחה שמשתמשת אך ורק באלגברה שכן הגדרת המספרים המרוכבים דורשת את תכונת השלמות של שדה המספרים הממשיים, ודרוש שימוש כלשהו בה. ישנן הוכחות שאופיין אלגברי במהותו, אך כולן משתמשות במשפטים או כלים כלשהם מאנליזה, כדוגמת משפט ערך הביניים.

מן המשפט נובע שכל פולינום לא קבוע מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום יש שורש.

מסקנה מהמשפט

מסקנה חשובה של המשפט היא מיון פולינומים אי-פריקים מעל הממשיים. יהי פולינום

בעל מקדמים ממשיים ונאמר שהוא אי-פריק מעל הממשיים. נפרק אותו לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים:

אפשר לראות די בקלות כי עבור שורש מרוכב של , גם הצמוד של מספר זה הוא שורש מרוכב של .

לכן ניתן לכתוב מחדש כאשר שורש לא ממשי (בהנחה שיש כזה, אם אין אזי בבירור ליניארי כי הוא אי-פריק) ועכשיו, ניתן להסתכל על כמכפלה של פולינום ממשי (אם נפתח סוגריים, נראה כי כל המקדמים ממשיים) ופולינום מרוכב אחר. הפולינום המרוכב הזה הוא גם ממשי, כי הוא מכפלה של ביטויים מצורה דומה. לכן, בהנחה שהפולינום הנוסף הזה הוא לא הפולינום הקבוע 1, קיבלנו סתירה לאי-פריקות מעל הממשיים. סך הכול קיבלנו את המשפט הבא:

כל פולינום אי פריק מעל הממשיים הוא ליניארי או ריבועי.

הוכחות למשפט היסודי

באמצעות משפט ליוביל

נניח פולינום לא קבוע ללא שורשים מרוכבים, המקיים . אם נתבונן בפונקציה , הגבול שלה באינסוף הוא 0, ומהיותה פונקציה שלמה (כהרכבה של פונקציות שלמות כאשר ל- אין אפסים) בפרט היא גם חסומה. ממשפט ליוביל נקבל שהפונקציה קבועה, וזאת בסתירה להנחה המקורית שהפולינום לא קבוע. כלומר לפולינום לא קבוע מעל המרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד.

באמצעות עקרון המינימום

עקרון המינימום הוא מסקנה מעקרון המקסימום:

תהי פונקציה הולומורפית לא קבועה, כאשר קבוצה פתוחה וקשירה. אזי קיים ל- מינימום מקומי ב- אם ורק אם .

הוכחת עקרון המינימום היא בדרך בשלילה, תוך התבוננות בפונקציה המקבלת מקסימום מקומי ב- – בסתירה לעקרון המקסימום.

פולינום הוא פונקציה כזו. אזי מתקיים . מעקרון המינימום, קיים כלשהו עבורו ולכן .

באמצעות תורת גלואה

הוכחה זו מבוססת על משפט ערך הביניים, ממנו ניתן להסיק כי לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי-פריק ממעלה אי-זוגית מוכרח להיות ליניארי.

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי . מכיוון שגם ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין אפס היא ספרבילית, נובע כי היא הרחבת גלואה.

תהי חבורת גלואה של ההרחבה . תהי חבורת 2-סילו של . האינדקס של ב- הוא אי זוגי. לכן הממד של שדה השבת מעל הוא אי-זוגי, אבל אז הפולינום המינימלי של כל איבר הוא ליניארי, כלומר . מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע כי , כלומר היא חבורת-2, כלומר הסדר שלה הוא חזקה של 2. לכן קיימת לה תת-חבורה מאינדקס 2. שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים כך ש-. אבל כל פולינום ממעלה 2 מעל מתפרק לגורמים ליניאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה מואבר. מכאן והממד של מעל הממשיים הוא 2, כלומר .

הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת . נשתמש בסימון למסילה שמקיפה את המעגל פעמים (כשהסימן של הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.

יהי פולינום מדרגה . נוכל להניח ללא הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום . נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח כי .

לכל נגדיר מסילה . קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה () עם נקודות קצה .

עבור , מתקיים , ולכן .

בנוסף, ברור כי לכל המסילות הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה ), ומכאן .

נקבע . כעת לכל כאשר מתקיים:

כלומר .

מכאן שלכל לפולינום אין שורשים המקיימים .

לכל נגדיר .
עבור מקבלים ולכן , פירוש הדבר .
עבור מקבלים ולכן .
כמקודם, מתקיים שהמסילות הומוטופית (בעזרת ההומוטופיה ).

לסיכום, , ולכן , ומהחישוב עבור החבורה היסודית של המעגל, הנ"ל מתקיים אם ורק אם .

קישורים חיצוניים


Read other articles:

American commercial aviation pioneer and founder of Pan American World Airways Juan TrippeTrippe c. 1940BornJuan Terry Trippe(1899-06-27)June 27, 1899Sea Bright, New Jersey, U.S.DiedApril 3, 1981(1981-04-03) (aged 81)New York City, U.S.Resting placeGreen-Wood CemeteryAlma materYale University (BA)Occupation(s)Airline entrepreneurFounder of InterContinental Hotels & Resorts[1]Spouse Elizabeth Betty Stettinius ​ ​(m. 1928)​Children4Relati...

 

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Abril de 2019) Gryllotalpa hexadactyla Classificação científica Reino: Animalia Filo: Arthropoda Classe: Insecta Ordem: Orthoptera Subordem: Ensifera Família: Gryllotalpidae Género: Gryllotalpa Espécie: Gryllotalpa hexadactyla Nome b...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2019) في كيه 1602 ليوبارد   النوع دبابة خفيفة  بلد الأصل ألمانيا النازية  الحروب الحرب العالمية الثانية  تعديل مصدري - تعديل   الدبابة الخفيفة في كيه 1602 ...

Paramount Global Państwo  Stany Zjednoczone Siedziba One Astor Plaza, Nowy Jork Data założenia 1952 (Viacom)2006 (Viacom, 2. odsłona)2019 (ViacomCBS)2022 (Paramount) Udziałowcy National Amusements (79.4%) ISIN (A)US92553P2011 (B) US92553P1021 (A)US92553P2011 (B) brak współrzędnych Multimedia w Wikimedia Commons Strona internetowa Siedziba Paramount w budynku One Astor Plaza w Nowym Jorku Paramount Global (dawniej ViacomCBS, Viacom) – amerykańska grupa mediowa, posiadająca sie...

 

الصيغة (بالإنجليزية: formula)‏ هي فذلكة تستعمل في الرياضيات والعلوم للتعبير عن المعلومات باستعمال الرموز مثل الصيغ الكيميائية أو عن العلاقة بين المقادير.[1][2][3] من أشهر الصيغ هي صيغة أينشتاين: E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} التي تظهر العلاقة بين الطاقة E {\displaystyle E} والكتلة m {\disp...

 

Artikel ini tersedia dalam versi lisan Dengarkan versi lisan dari artikel ini(4 bagian, 1 jam 22 menit) Berkas-berkas suara berikut dibuat berdasarkan revisi dari artikel ini per tanggal 27 September 2022 (2022-09-27), sehingga isinya tidak mengacu pada revisi terkini.(Bantuan · Artikel lainnya) Hasil pemindaian mikroskop elektron yang menunjukkan suatu neutrofil (kuning) yang sedang menelan bakteri antraks (jingga) Sistem imun, sistem kekebalan, atau sistem pertahanan tubuh a...

Dam in Tuolumne County, California, United States' For the dam in Ohio, see O'Shaughnessy Dam (Ohio). Dam in California, U.S.O'Shaughnessy DamLocation of the O'Shaughnessy Dam in CaliforniaLocationTuolumne County, California, U.S.[1]Coordinates37°56′51″N 119°47′18″W / 37.94750°N 119.78833°W / 37.94750; -119.78833PurposeWater supplyHydroelectricityStatusOperationalConstruction beganAugust 1, 1919; 104 years ago (1919-08-01)Open...

 

This article is about the borough in Morris County. For the nu-metal band, see Linkin Park. For other uses, see Lincoln Park (disambiguation). Populated place in Morris County, New Jersey, US Borough in New Jersey, United StatesLincoln Park, New JerseyBoroughJohn Dod House and Tavern SealLocation of Lincoln Park in Morris County highlighted in red (right). Inset map: Location of Morris County in New Jersey highlighted in orange (left).Census Bureau map of Lincoln Park, New JerseyLincoln ParkL...

 

AIM-9 Sidewinder Jenis Short-range air-to-air missile Sejarah pemakaian Masa penggunaan 1956 (AIM-9B) Sejarah produksi Produsen NammoRaytheon CompanyFord AerospaceLoral Corp. Biaya produksi US$85,000 Diproduksi September 1953 AIM-9 Sidewinder adalah sebuah rudal udara-ke-udara anti pesawat jarak pendek berpandu infra merah buatan Amerika Serikat. Rudal ini merupakan rudal udara-ke-udara paling populer di dunia, dan menjadi senjata standar bagi pesawat tempur buatan negara-negara NAT...

Illustration du cycle de l'œuf et de la poule. Le paradoxe de l'œuf et de la poule est un très ancien paradoxe : « Qu'est-ce qui est apparu en premier : l'œuf ou la poule ? ». Si on vous répond « C'est l'œuf », vous demandez « Mais qui a pondu cet œuf ? ». Si on vous répond « C'est la poule », vous demandez « Mais cette poule sort bien d'un œuf, non ? ». Le paradoxe vient du fait qu'aucune réponse n...

 

Scottish breed of traditional pony Shetland PonyOther namesShetlandCountry of originShetland Islands, ScotlandTraitsDistinguishing featuresIntelligent, small size, sturdy build, thick coat, compact and strongBreed standardsShetland Pony Studbook SocietyAmerican Shetland Pony ClubEquus ferus caballus The Shetland pony is a Scottish breed of pony originating in the Shetland Islands in the north of Scotland. It may stand up to 107 cm (42 in) at the withers.[1] It has a heavy co...

 

Paris avant et après 1860. En rouge, les 12 arrondissements anciens et leurs quartiers. En gris, la limite à partir de 1860. Les anciens arrondissements de Paris sont les douze arrondissements de la ville de Paris, depuis leur création en 1795 jusqu'à la réorganisation en vingt nouveaux arrondissements par la loi du 16 juin 1859. Historique Par la loi du 27 juin 1790, la ville de Paris, alors limitée par le mur des Fermiers généraux, est divisée en quarante-huit sections révolutionn...

Artikel ini membutuhkan penyuntingan lebih lanjut mengenai tata bahasa, gaya penulisan, hubungan antarparagraf, nada penulisan, atau ejaan. Anda dapat membantu untuk menyuntingnya. Biografi ini memerlukan lebih banyak catatan kaki untuk pemastian. Bantulah untuk menambahkan referensi atau sumber tepercaya. Materi kontroversial atau trivial yang sumbernya tidak memadai atau tidak bisa dipercaya harus segera dihapus, khususnya jika berpotensi memfitnah.Cari sumber: Datuk Kahfi –...

 

1826 novel by Mary Shelley This article is about the Mary Shelley novel. For other uses, see The Last Man (disambiguation). This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (April 2023) (Learn how and when to remove this template message) The Last Man First edition title pageAuthorMary ShelleyCountryUnited KingdomLanguageEnglishGenreScience fin, apocalyptic fic...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2015) 32°53′16.03″N 13°11′21.87″E / 32.8877861°N 13.1894083°E / 32.8877861; 13.1894083 متحف ليبيا Museum of Libya متحف ليبيا إحداثيات 32°53′16″N 13°11′22″E / 32.887786°N 13.189408°E / 32.887786;...

Olympic fencing event Men's épéeat the Games of the IV OlympiadFrench épéeists at the 1908 Games, including individual medalists Alibert, Lippman, and Olivier (seated, from left)VenueFranco-British Exhibition fencing groundsDatesJuly 17–24Competitors85 from 13 nationsMedalists Gaston Alibert France Alexandre Lippmann France Eugene Olivier France← 19041912 → Fencing at the1908 Summer OlympicsÉpéemenTeam épéemenSabremenTeam sabremenvte Th...

 

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Pop music in Ukraine – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2017) (Learn how and when to remove this template message) Music of Ukraine General topics opera houses music schools Genres classical opera composers folk pop rock (metal) Nationalisti...

 

18th century Battle part of French Revolutionary wars For other battles called The Battle of Faenza, see Battle of Faenza (disambiguation). Battle of FaenzaPart of the War of the First Coalition of the French Revolutionary WarsA satirical depiction of the Papal Army before the Battle of Faenza.DateFebruary 3, 1797LocationCastel Bolognese, Faenza, Papal StatesResult French victoryBelligerents French Republic Papal StatesCommanders and leaders Claude Victor-Perrin Achille Fontanelli Michelangel...

This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Ashot Bleyan – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2018) (Learn how and when to remove this template message) Portrait of Ashot B...

 

مطار تشودري تشاران سينغ   إياتا: LKO – ايكاو: VILK موجز المشغل هيئة مطارات الهند  يخدم لكهنؤ  البلد الهند  الموقع وسيط property غير متوفر. الارتفاع 410 قدم  إحداثيات 26°45′43″N 80°53′00″E / 26.76194444°N 80.88333333°E / 26.76194444; 80.88333333  الموقع الرسمي الموقع الرسمي  الخريطة...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!