אלגברת קווטרניונים

במתמטיקה, אלגברת קווטרניונים היא אלגברה פשוטה שהממד שלה מעל המרכז (שהוא בהכרח שדה, נאמר F) הוא 4. סוג זה של אלגברה הוא הדוגמה מן הממד הקטן ביותר האפשרי לחוג פשוט או לחוג עם חילוק, שאינו שדה. את אלגברת הקווטרניונים הראשונה גילה המילטון ב-1843, והיא נקראת על שמו, אלגברת הקווטרניונים של המילטון.

דוגמה אחת לאלגברת קווטרניונים היא אלגברת המטריצות ${\displaystyle \ \operatorname {M} _{2}(F)}$. זוהי אלגברת הקווטרניונים היחידה שיש בה מחלקי אפס, וכל אלגברת קווטרניונים אחרת היא חוג עם חילוק.

הרחבת סקלרים ושדות פיצול

אם Q אלגברת קווטרניונים שמרכזה השדה F, ו- ${\displaystyle \ F\subseteq K}$ הרחבת שדות, אז המכפלה הטנזורית ${\displaystyle \ Q\otimes _{F}K}$ היא אלגברת קווטרניונים שמרכזה K. בפרט, אם המכפלה היא אלגברת המטריצות מעל K, אז K נקרא שדה פיצול של האלגברה. אלגברה פשוטה (מממד סופי) מעל שדה סגור אלגברית מוכרחה להיות אלגברת מטריצות, ולכן הסגור האלגברי של F מפצל כל אלגברת קווטרניונים מעליה.

תת-שדות

כל איבר שאינו מרכזי באלגברת קווטרניונים Q יוצר תת-אלגברה מממד 2; אם Q חוג עם חילוק, תת-אלגברה זו היא בהכרח שדה. בין תת-השדות יש לאלגברה גם תת-שדות ספרביליים מעל המרכז (זוהי מסקנה של משפט קטה (Koethe), שהוכחתו עבור קווטרניונים קלה במיוחד). כל תת-שדה המכיל את המרכז הוא בהכרח תת-אלגברה מקסימלית. בפרט, כל תת-שדה K הוא המרַכז של עצמו.

הצגה על ידי יוצרים ויחסים

אם ${\displaystyle \ F\subset K\subset Q}$ תת-שדה ספרבילי, אז יש אוטומורפיזם לא טריוויאלי ${\displaystyle \ \sigma }$ של K מעל F. אם המאפיין של F שונה מ-2, יש ב- K איבר x המקיים ${\displaystyle \ \sigma (x)=-x}$, ואז ${\displaystyle \ 0\neq a=x^{2}\in F}$; אם המאפיין הוא 2, אז יש איבר המקיים ${\displaystyle \ \sigma (x)=x+1}$, ואז ${\displaystyle \ a=x^{2}-x\in F}$.

לפי משפט סקולם-נתר, יש איבר ${\displaystyle \ y\in Q}$ שהצמדה בו משרה את ${\displaystyle \ \sigma }$, היינו ${\displaystyle \ yky^{-1}=\sigma (k)}$ לכל ${\displaystyle \ k\in K}$. במאפיין שונה מ-2, ${\displaystyle \ yx=-xy}$, ובמאפיין 2 ${\displaystyle \ yx=xy+y}$. מכיוון ש-${\displaystyle \ 0\neq b=y^{2}}$ מתחלף עם K ועם y, b הוא איבר מרכזי.

פירושו של דבר שבמאפיין שאינו 2 ${\displaystyle \ Q=F[x,y\,|\,x^{2}=a,\,y^{2}=b,\,yx=-xy]}$; יוצרים ויחסים אלה מציגים אלגברת קווטרניונים לכל ${\displaystyle \ 0\neq a,b\in F}$, ומסמנים את האלגברה בקיצור בסימון ${\displaystyle \ (a,b)_{2,F}}$ או ${\displaystyle \ \left({\frac {a,b}{F}}\right)_{2}}$, ולפעמים סתם ${\displaystyle \ (a,b)}$.

במאפיין 2, ${\displaystyle \ Q=F[x,y\,|\,x^{2}-x=a,\,y^{2}=b,\,yx=xy+y]}$; גם כאן זוהי אלגברת קווטרניונים לכל ${\displaystyle \ a,b\in F}$ עם ${\displaystyle \ b\neq 0}$; את האלגברה הזו מסמנים בסימון ${\displaystyle \ [a,b)}$.