ענבר נולד בתל אביב בנם של יהודית ויששכר בורשטיין, אחיו הצעיר הוא יחיאל בורשטיין. גדל בנתניה, היה מראשוני הלומדים בגן הילדים ובבית הספר ביאליק המקומי. היה חבר בארגון ההגנה, שירת כקצין איתות, בנובמבר 1947 נשלח לקורס קציני קשר ובמלחמת העצמאות היה קצין קשר של גדוד 133 בחטיבת אלכסנדרוני ואחראי לקשר של נפת אשר (אזור עמק חפר והשרון הדרומי). לאחר המלחמה הועבר למפקדת קצין קשר ראשי. שימש כקצין קשר של חטיבה 10, סגן קצין טלפוניה ארצי, הקים את ענף הקשר הקווי בבה"ד 7, פיקד על בסיס אחסנה של החיל ושימש קצין תכנון והדרכה. במבצע קדש לחם בחצי האי סיני כסגן קצין קשר של אוגדה 38.
ביקור הרמטכ"ל דוד אלעזר בבסיס יחידה 8200 בסיני 1972. [א]שלמה ענבר בשנת 2012
בשנת 1969 התמנה לראש מחלקת ארגון ובקרה של אגף האפסנאות ולאחר מכן עבר לאגף המודיעין ועמד בראש יחידה 848 (לימים יחידה 8200). בתקופתו בפיקוד הוגדלו משמעותית תקציבי היחידה, וגויסו לשורותיה מהנדסים רבים וכוח אדם איכותי נוסף. באוגוסט 1972 חזר לחיל הקשר והתמנה לקצין קשר ראשי, תפקיד בו כיהן בתקופת מלחמת יום הכיפורים. על פי עדותו, לפני המלחמה העריך כי זו תפרוץ על סמך סקירות ששמע במטכ"ל וקשר עם פקודו לשעבר יואל בן-פורת, שפיקד על יחידה 848[1] ועל כן הכין את החיל, כולל אימונים, גיוס מילואים והכנת תשתית קשר חלופית לשעת חירום.
לאחר שחרורו עבד בשיקום קיבוצים, בין השאר של כפר בלום ומשמר דוד. שימש כיועץ בתחומי הטכנולוגיה והתקשורת בחברות שונות בהן פלאפון ולמבקר המדינה, בין השאר כיהן כדירקטור, יועץ אסטרטגי ויועץ לצורך היערכות לבאג 2000 בחברת בזק. משמש כנשיא העמותה להנצחת חללי חיל הקשר והתקשוב, כיהן כחבר בקורטוריון ובוועד המנהל של הטכניון.
