שיקוף (מתמטיקה)

שיקוף מסביב לציר a (באדום): הנקודה P עוברת ל-P' כך שהמרחק שלהן מהישר, d, שווה. המשולש ABC עובר ל-'A'B'C כך שסדר הקודקודים משתנה.

בגאומטריה וענפים אחרים של המתמטיקה, שיקוף של מישור ביחס לישר הוא העתקה גאומטרית שמעבירה כל נקודה לנקודה הנמצאת במרחק שווה מהישר, כך שהקו המחבר ביניהן מאונך לישר (כלומר הישר הוא אנך אמצעי שלו). הנקודות שעל הישר עצמו נשארות במקומן (נקודות שבת). זוהי הפעולה המתקבלת כאשר מתבוננים במישור דרך מראה המוצבת על הישר הקבוע. לדוגמה, שיקוף ביחס למראה מאונכת יעביר את האות גימל לאות זין (בכתב יד), וישאיר ללא שינוי את האותיות שין או חית. שיקוף היא העתקה שומרת מרחקים.

אפשר להגדיר גם שיקוף של מרחבים מממד גדול יותר: שיקוף של מרחב אוקלידי n-ממדי הוא העתקה שומרת מרחקים, המחזיקה במקומן את הנקודות על על-מישור מממד n-1. על-מישור קבוע זה נקרא לעיתים "מראה". ניתן לראות בשיקוף פעולה ההופכת כיוון אחד במרחב, ושומרת על כל הכיוונים המאונכים לו. במרחב מכפלה פנימית, השיקוף בכיוון הווקטור ${\displaystyle \ v}$ נעשה על-פי הנוסחה ${\displaystyle \ x\mapsto x-2{\frac {(v,x)}{(v,v)}}v}$. לדוגמה, השיקוף מעביר ${\displaystyle \ v\mapsto -v}$, ואינו מזיז ממקומם את הווקטורים המאונכים ל- ${\displaystyle \ v}$.

השיקוף מתאפיין בכך שהוא העתקה שומרת מרחקים מסדר 2, כלומר, הפעלת השיקוף פעמיים, ביחס לאותו ישר, מחזירה את המרחב לקדמותו. בדומה לזה, הפעלה של שני שיקופים ביחס לישרים מקבילים מהווה הזזה בכיוון המאונך לישרים ובאורך הכפול מהמרחק ביניהם, ואילו הפעלה של שני שיקופים ביחס לישרים נחתכים היא סיבוב של המישור ביחס לנקודת החיתוך שלהם ובזווית כפולה מהזווית ביניהם. כל איזומטריה של המישור ניתנת להגדרה כהרכבה של עד שלושה שיקופים.

בניגוד לסיבוב והזזה, השיקוף היא פעולה הופכת אוריינטציה, כלומר את כיוון העצמים. לדוגמה, אם נתון משולש שסדר קודקודיו הם ABC בכיוון השעון, אז הוא יעבור למשולש 'A'B'C שסדר קודקודיו נגד כיוון השעון. ניתן להסתכל על השיקוף כמקרה קצה של אינוורסיה, המתקבל, כביכול, משיקוף ביחס למעגל ברדיוס אינסופי.

ראו גם

• איזומטריה
• חבורת קוקסטר
• חבורת שיקופים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שיקוף בוויקישיתוף

• שיקוף, באתר MathWorld (באנגלית)