גרף הפונקציה קוסינוס
בערך זהסימון מתמטי .
קוסינוס (מסומן ב-
cos
{\displaystyle \cos }
פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון: הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת ). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה , בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים.
במשולש זה, קוסינוס הזווית A שווה
b
c
{\displaystyle {\frac {b}{c}}}
בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הקוסינוס מציינת את היחס בין הניצב שליד הזווית ליתר במשולש ישר-זווית , כפונקציה של הזווית שליד הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או
π π -->
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
רדיאנים . משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הקוסינוס של זווית מוגדר היטב .
במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שקוסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-x, כלומר שיעור ה-x של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס לכל מספר ממשי : הקוסינוס של מספר
θ θ -->
{\displaystyle \ \theta }
θ θ -->
{\displaystyle \ \theta }
כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הקוסינוס באמצעות טור טיילור :
cos
-->
x
=
1
− − -->
x
2
2
!
+
x
4
4
!
− − -->
x
6
6
!
± ± -->
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \cos x=\ 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}
ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של קוסינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב קוסינוס לזוויות קטנות :
cos
-->
x
≈ ≈ -->
1
− − -->
x
2
2
≈ ≈ -->
1
{\displaystyle \cos x\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}\approx 1}
הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס גם למספרים מרוכבים . באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לקוסינוס:
cos
-->
(
x
)
=
e
i
x
+
e
− − -->
i
x
2
{\displaystyle \ \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}
פונקציית הקוסינוס היא זוגית , משום שמתקיים
cos
-->
(
− − -->
x
)
=
cos
-->
(
x
)
{\displaystyle \cos \ (-x)=\cos \ (x)}
פונקציית הקוסינוס היא מחזורית בעלת מחזור של
2
π π -->
{\displaystyle \ 2\pi }
2
π π -->
{\displaystyle \ 2\pi }
פונקציית הקוסינוס רציפה , גזירה ואינטגרבילית לכל
x
{\displaystyle \ x}
אינסוף נקודות קיצון מהצורה
x
=
2
π π -->
k
{\displaystyle \ x=\ 2\pi k}
x
=
π π -->
+
2
π π -->
k
{\displaystyle \ x=\pi +\ 2\pi k}
k
{\displaystyle \ k}
מספר שלם . הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום -1 .
לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה
x
=
π π -->
2
+
π π -->
k
{\displaystyle \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi k}
k
{\displaystyle \ k}
התמונה של הפונקציה היא
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle \ [-1,1]}
הנגזרת של פונקציית הקוסינוס, כאשר
x
{\displaystyle x}
סינוס :
d
d
x
cos
-->
x
=
− − -->
sin
-->
x
{\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x}
זאת כיוון שהנגזרת של פונקציית הסינוס היא קוסינוס (ראו הוכחה כאן ) ובעזרת כלל השרשרת מקבלים:
d
d
x
cos
-->
x
=
d
d
x
sin
-->
(
π π -->
2
− − -->
x
)
=
− − -->
cos
-->
(
π π -->
2
− − -->
x
)
=
− − -->
sin
-->
x
{\displaystyle {d \over dx}\cos x={d \over dx}\sin({\frac {\pi }{2}}-x)=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x}
מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הקוסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית :
פונקציית הקוסינוס היא פתרון המשוואה
f
″
(
x
)
=
− − -->
f
(
x
)
{\displaystyle \ f''(x)=-f(x)}
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle \ f(0)=1}
f
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle \ f'(0)=0}
[ 1]
הפונקציה הקדומה של הקוסינוס היא סינוס:
∫ ∫ -->
cos
-->
x
d
x
=
sin
-->
x
+
C
{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C}
ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:
x (זווית)
cos x
מעלות
רדיאנים
גראדים
במדויק
קירוב עשרוני
0°
0
0g
1
1
15°
π π -->
12
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
162 /3 g
6
+
2
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}
0.965925826289068
30°
π π -->
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
331 /3 g
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
0.866025403784439
45°
π π -->
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
50g
1
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}
0.707106781186548
60°
π π -->
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
662 /3 g
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
0.5
75°
5
⋅ ⋅ -->
π π -->
12
{\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{12}}}
831 /3 g
6
− − -->
2
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}
0.258819045102521
90°
π π -->
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
100g
0
0
זהויות טריגונומטריות פונקציית הקוסינוס מקיימת:
cos
-->
(
− − -->
θ θ -->
)
=
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \ \cos(-\theta )=\cos \theta }
cos
-->
(
π π -->
− − -->
θ θ -->
)
=
− − -->
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \ \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }
בעזרת פונקציית הקוסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים):
sin
-->
θ θ -->
=
1
− − -->
cos
2
-->
θ θ -->
{\displaystyle \sin \theta ={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}
,
tan
-->
θ θ -->
=
1
− − -->
cos
2
-->
θ θ -->
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}
,
cot
-->
θ θ -->
=
cos
-->
θ θ -->
1
− − -->
cos
2
-->
θ θ -->
{\displaystyle \cot \theta ={\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
,
csc
-->
θ θ -->
=
1
1
− − -->
cos
2
-->
θ θ -->
{\displaystyle \csc \theta ={1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
,
sec
-->
θ θ -->
=
1
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \sec \theta ={1 \over \cos \theta }}
סכום זוויות:
cos
-->
(
θ θ -->
± ± -->
φ φ -->
)
=
cos
-->
θ θ -->
cos
-->
φ φ -->
∓ ∓ -->
sin
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
{\displaystyle \cos(\theta \pm \varphi )=\cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi }
זווית כפולה:
cos
-->
2
θ θ -->
=
cos
2
-->
θ θ -->
− − -->
sin
2
-->
θ θ -->
{\displaystyle \ \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }
,
cos
-->
3
θ θ -->
=
4
cos
3
-->
θ θ -->
− − -->
3
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \ \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta }
cos
-->
n
θ θ -->
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
k
-->
θ θ -->
sin
n
− − -->
k
-->
θ θ -->
cos
-->
(
1
2
(
n
− − -->
k
)
π π -->
)
{\displaystyle \cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}
חצי זווית:
cos
-->
θ θ -->
2
=
± ± -->
1
+
cos
-->
θ θ -->
2
{\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}
סכום קוסינוסים:
cos
-->
θ θ -->
− − -->
cos
-->
φ φ -->
=
− − -->
2
sin
-->
(
θ θ -->
+
φ φ -->
2
)
sin
-->
(
θ θ -->
− − -->
φ φ -->
2
)
{\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)}
,
cos
-->
θ θ -->
+
cos
-->
φ φ -->
=
2
cos
-->
(
θ θ -->
+
φ φ -->
2
)
cos
-->
(
θ θ -->
− − -->
φ φ -->
2
)
{\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}
גרף הפונקציה ארכקוסינוס הפונקציה ההפוכה לפונקציית הקוסינוס נקראת ארכקוסינוס ומסומנת
arccos
{\displaystyle \ \arccos }
cos
− − -->
1
{\displaystyle \ \cos ^{-1}}
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle \ [-1,1]}
חד-חד-ערכית , ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים
[
0
,
π π -->
]
{\displaystyle \ [0,\pi ]}
d
d
x
arccos
-->
x
=
− − -->
1
1
− − -->
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
משפט הקוסינוסים משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס , והוא קובע את הקשר בין צלעות המשולש ואחת מזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הקוסינוס. המשפט הוא:
c
2
=
a
2
+
b
2
− − -->
2
a
b
cos
-->
γ γ -->
{\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
כאשר a, b, c הן צלעות המשולש ו-
γ γ -->
{\displaystyle \ \gamma }
כאשר זווית c ישרה,
cos
-->
γ γ -->
=
0
{\displaystyle \ \cos \gamma =0}
![{\displaystyle \ [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3175907f761b9e16bc6c405d2b521caa35e8062d)
![{\displaystyle \ [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1ed4851f6514a0268a924b77da54add3c0dd00)
