יחס (בין מספרים)

תצורות תצוגה ביחסי גובה:רוחב שונים

יחס בין מספרים הוא המנה של חלוקתם זה בזה. יחס בין שני מספרים מיוצג באמצעות הפרדתם זה מזה באמצעות נקודתיים, למשל 3:4. דוגמה: בהרכב הכימי של המים, H₂O, היחס בין אטומי המימן לאטומי החמצן הוא 2:1. בדרך כלל מוצג יחס בין שני מספרים, אך ניתן להציג גם יחס בין שלושה מספרים ויותר. למשל, בהרכב הכימי של חומצה גופרתית, H₂SO₄, היחס בין האטומים הוא 2:1:4.

נהוג להציג יחס בין מספרים בצורתו המצומצמת. דוגמה: גובהו של יוסי 180 ס"מ, וגובהו של דני 120 ס"מ. היחס בין הגבהים שלהם הוא 180:120 כלומר 3:2. במידת האפשר מוצג היחס בין מספרים שלמים, ולכן בדוגמה הקודמת נעדיף את ההצגה 3:2 על-פני ההצגה 1.5:1. כאשר היחס הוא מספר אי-רציונלי, אי אפשר להציג את היחס במספרים שלמים. למשל בריבוע, היחס בין האלכסון לצלע הוא ${\displaystyle {\sqrt {2}}:1}$.

משמעויות היחס

נתבונן ביחס בין א' לבין ב' שהוא ${\displaystyle 2:3}$.^[א]

ליחס הזה 4 משמעויות:

• על כל שתי יחידות שיקבל א' יקבל ב' 3 יחידות
• מכל סכום שיחולק לפי היחס הזה יקבל א' ${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$ ו-ב' יקבל ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$
• א' קטן מ-ב' ב-${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ של ב'
• ב' גדול מ-א' ב-${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ של א'

ידיעת היחס בין מספרים אינה מספקת מידע על גודלם של המספרים. בדוגמה של יחס של ${\displaystyle 2:3}$ יכולה להתאים לארוחות מבצע במזללה שבה על כל קניית שתי ארוחות מוגדלות מקבלים שלוש ארוחות ילדים בחינם, אבל גם לסיפור שבו על כל 42 שחקני כדורסל בבית הספר יש 63 שחקני כדורגל.

הכמות הכוללת צריכה להתחלק שווה בשווה ללא שארית בסכום של המונה ושל המכנה בייצוג המצומצם. בדוגמה של ${\displaystyle 2:3}$ סך הכמות שמייצג 2 ושמייצג 3 צריך להתחלק שווה בשווה וללא שארית ב-5 (כדי לאפשר שעל כל שתי יחידות של א' יהיו בדיוק 3 יחידות של ב')

יחסים נודעים

כאשר היחס הוא מהצורה a:1 נהוג להציגו בצורת a בלבד. יחסים נודעים אחדים מסוג זה הם:

• הקבוע ${\displaystyle \pi }$ (פאי): היחס הקבוע בין היקף מעגל לבין קוטרו.
• יחס הזהב: שני גדלים מקיימים את יחס הזהב אם היחס בין סכום הגדלים לבין הגדול מביניהם שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם. בנוסחה:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$ ערכו של יחס הזהב הוא ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180339887...}$

• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ הוא היחס שבין האלכסון לצלע בריבוע.
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ הוא היחס שבין האלכסון הראשי בקובייה למקצוע של הקובייה.
• הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות הן יחסים בין צלעותיו של משולש ישר-זווית. סינוס של זווית, למשל, שווה ליחס שבין הניצב שמול זווית זו ובין היתר.

ערך משולש

כאשר ידוע היחס בין זוג מספרים, וידוע לנו שיחס זה מתקיים גם בין מספר ונעלם, ניתן לחשב את הנעלם^[ב].

כאשר נתונים משולשים דומים וידוע לנו אורך צלעותיו של משולש אחד, ורק אורך אחת מצלעותיו של המשולש האחר, נוכל לחשב, באמצעות ערך משולש, את אורכי הצלעות הנותרות. עניין זה מודגם בתלמוד: ”והרוצה לידע כמה גובהו של דקל מודד קומתו וצלו וצל קומתו וידע כמה גובה של דקל” (תלמוד בבלי, מסכת עירובין, דף מ"ג, עמוד ב'). נמחיש זאת: אדם, שגובהו 1.75 מטר, מודד ומגלה שאורך צלו 2.50 מטר, ואורך צלו של הדקל הוא 10 מטר. מה גובה הדקל? פתרון: מתקיים ${\displaystyle 10:x=2.50:1.75}$. לפיכך $${\displaystyle x={\frac {1.75\times 10}{2.50}}=7}$$ ומכאן שגובה הדקל הוא 7 מטרים.

ראו גם

• יחס ישר
• יחס הפוך
• פוליקליטוס

לקריאה נוספת

• תלמה גביש, לחשוב להבין להצליח - פיתוח חשיבה מתמטית, קריית ביאליק: אח, 1998, מסת"ב 9652671436
• מירה עופרן, שליש לחלק לרבע - המחשבה שמאחורי החישוב, אבן יהודה: רכס, 2005

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא יחס בוויקישיתוף

• יחס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• יחס, באתר MathWorld (באנגלית)

ביאורים

1. קוראים: היחס בין א' לבין ב' הוא יחס של שתיים לשלוש. סדר הכתיבה בעברית מימין לשמאל ואילו סדר הכתיבה בחשבון משמאל לימין ולכן הראשון שמספרים עליו ביחס יהיה גם הראשון משמאל שנכתוב ביחס.
2. דוגמה: חנות מכריזה על מבצע שבו ניתנת הנחה בשיעור אחיד על כל מוצריה. קונה רואה מוצר שמחירו המקורי 50 ש"ח ונמכר במבצע ב-40 ש"ח, כמה יעלה במבצע מוצר שמחירו המקורי 60 ש"ח?
   פתרון: ידוע לנו שהיחס בין המחיר במבצע למחיר המקורי הוא ${\displaystyle 40:50}$, ומתקיים ${\displaystyle x:60=40:50}$. לפיכך ${\displaystyle x={\frac {40\times 60}{50}}=48}$