נולד ברמתיים לרב יעקב לנדא, שכיהן אז כרב המקומי, ולחיה מינה. אמו הייתה אחות-מאם של הרב אברהם אליהו קפלן. נקרא משה יהודא ליב על שם סבו, רבה של העיירה קורניץ שברוסיה הלבנה. כשנה לאחר לידתו התמנה אביו כרבה של המושבה בני ברק, והמשפחה עברה להתגורר במקום.
בכ"ו בשבטה'תשמ"ו נפטר אביו, ובמהלך הלווייתו הכריז ראש העיר, משה אירנשטיין: "על פי צוואתו ובקשתו של הרב יעקב לנדא, אנו מכריזים על הכתרתו של בנו הרב משה יהודא ליב לנדא לכהן כרבה של עירנו בני ברק"[2]. ההכרזה עוררה ויכוח סוער בעיר. הרב אלעזר מנחם שך, מנהיג הציבור הליטאי, התנגד למינויו של הרב לנדא כרב העיר בשל היותו מזוהה עם רבי מנחם מנדל שניאורסון (שהרב שך התנגד לו)[3] ותמך בכך שהרב שמואל הלוי ואזנר, רבה של שכונת "זיכרון מאיר" בעיר, ימונה לתפקיד. הרב וואזנר הודיע כי הוא מקבל את מרותו של הבן כממשיך דרכו של אביו ברבנות העיר[4].
בפועל, חרף תמיכת חלק מקהילות החסידים ברב לנדא, הוא לא מונה לרבנות העיר באופן רשמי מטעם המדינה, אבל קיבל משכורת מהעירייה, היות שהוא היה רב מטעמהּ.
כתגובה למינוי, הקים הרב שך מערכת שחיטה נפרדת ממערך השחיטה העירוני בשם "קהל עדת ישראל" בראשותו של הרב נסים קרליץ. כעבור כחודש מהקמת השחיטה החדשה, ניסה הרב קרליץ להוביל פשרה, לפיה יעמוד בית השחיטה הבני-ברקי תחת סמכות משותפת שלו ושל הרב לנדא. הרב שך התנגד להסכם[דרוש מקור] והוביל להקמתה של מערכת כשרות אלטרנטיבית לציבור הליטאי בשם "שארית ישראל", בראשותו של הרב חיים שאול קרליץ. במהלך כל השנים עד לפטירתו של הרב לנדא, הקפידו בעיתון יתד נאמן להשמיט את השורה "רב אב"ד דבני ברק" מחותמת הכשרות שלו בפרסומות למוצרים[5].
עם זאת, היו רבנים ליטאים שלא תמכו בהקמת כשרות 'שארית ישראל', כמו הרבנים נסים קרליץ, דוב לנדו, דוד פוברסקי וברוך דב פוברסקי. כן פורסם לאחר פטירת הרב לנדא תיעוד של הרב אהרן ליב שטינמן כשהוא אומר שההשגחה שלו טובה, ושהחזון איש סמך עליו[6]. אך למעשה רוב הליטאים תושבי בני ברק וחלק ניכר מהסרים למרותו של הרב שך גם במקומות אחרים, חדלו להשתמש במוצרים עם חותמת הכשרות של הרב לנדא. למרות זאת, המשיך ההכשר להיות מהמובילים בתחום הכשרות, ומוצריו המשיכו לעלות גם על שולחנם של מנהיגים ליטאיים[7].
רוב החצרות החסידיות עמדו לצדו של הרב לנדא, אך למשל בד"ץ מחזיקי הדת של חסידות בעלז העניק הכשר לרשת של קונדיטוריות, שממנה הסיר הרב לנדא את השגחתו. למרות ההתנגדות נותרה השגחתו של הרב לנדא הדומיננטית ביותר ברובן המכריע של חנויות המזון, הירקות והבשר בבני ברק, וגם ועד הכשרות של הבד"ץ של העדה החרדית נהג להימנע ממתן הכשרים לחנויות ומפעלים בתחומי העיר.
הרב לנדא פרסם תקנות כדי לפקח על צביון העיר. יזם את הקמת מערך הפיקוח על המקוואות, על חדרי המחשבים ועל חנויות הבגדים. כך גם היה מפרסם כל שנה קודם פורים קריאה לנשים שלא להסתובב ברחוב בליל פורים, המועד לפורענות. לפני פסח היה מפרסם הוראות והנחיות לקראת החג; כך גם היו מוקדים בעיר של הגעלת כלים בהשגחתו ללא תשלום. תחת סמכותו היה גם תחום העירובין בעיר.
הרב לנדא המשיך במסורת של אביו שלא לגבות אגרה על נתינת כשרות (מעבר להוצאות המינימליות; שאר ההוצאות ממומנות בידי עיריית בני ברק), וכן שלא לגבות שכר עבור פסיקותיו בדיני תורה.
במסגרת מתן הכשרות לקוקה-קולה נחשף הרב לנדא לרכיבי המשקה, שהחברה מקפידה לשמור על סודיותם[9]. טען שמשקה קוקה-קולה המיוצר באירופה וברשות הפלסטינית בעייתי[10].
אסר לאכול תרנגול בראקל מכיוון שאין מסורת על תרנגול זה ומסיבות נוספות[16][17].
התיר לאכול דגי הערינג, אף על פי שייתכן שיש בהם תולעי אניסאקיס, כי סבר שאין איסור באכילת תולעים מסוג זה[17].
אסר לאכול דגי טונה משומרים בנימוק שהדגים הכשרים נכבשים בספינות עם דגים אחרים שאינם כשרים. במשך תקופה העניק הכשר לטונה של חברה שפעלה על פי הוראותיו המיוחדות[18].
