ילדותו המוקדמת עברה עליו בנסיבות מן הקשות ביותר. הוא נולד בימי מלחמת העולם השנייה בשנת 1940 כבן להריברט רינגמן, פרופסור למוזיקולוגיה באוניברסיטת ברסלאו, ולמרגרטה יארוש, עוזרתו. הלידה הסתבכה והרופאים הצליחו להציל רק את התינוק, ואילו האם מתה תוך ימים אחדים[1]. עקב דעותיו האנטי-נאציות הגלויות פוטר האב ממשרתו האקדמית וגויס לוורמכט[2] לגדוד עונשין שנלחם בחזית הסובייטית, שם מצא עד מהרה את מותו[3]. הילד היתום נדד יחד עם סבתו בעקבות הצבא הגרמני, שנסוג מפולין. תוך כדי נדודיהם הסבתא מתה, והילד הגיע לבסוף למחנה פליטים במקלנבורג. אחרי ימי מחסור ומחלות נמצא שם בשנת 1946 על ידי בת דוד של אמו, ואלידורה יארוש, זמרת ומורה למוזיקה, שאימצה אותו והתיישבה איתו בויזמר. בשנת 1948 שניהם עברו לגור עם בעלה של ואלידורה, וולפגנג אשנבך, בעיר נוישטאט בחבר הולשטיין[3]. אחרי שנה של אילמות התאושש וחזר לדבר, בין היתר, הודות לצלילי המוזיקה שנשמעו בבית הוריו המאמצים.
מגיל 7 קיבל אשנבך שיעורי פסנתר מאמו המאמצת. בגיל 11 צפייה בקונצרט בניצוחו של וילהלם פורטוונגלר השפיעה מאוד על החלטתו לבחור בקריירה מוזיקלית. בשנים 1951–1953 המשיך ללמוד פסנתר אצל המורה אלזה הנסן (גיול) בהמבורג, והתחיל בנוסף ללמוד לנגן בכינור, בויולה ובעוגב. בגיל 15 נרשם ללימודים בבית הספר הגבוה למוזיקה בקלן. מוריו היו בעיקר האנס-אוטו שמידט-נויהאוס (פסנתר) ווילהלם בריקנר-ריגברג (ניצוח).
לפי עדותו של אשנבך, בין המנצחים שלצידם עבד והשפיעו במיוחד על אמנותו היו גאורג סל, הרברט פון קאראיין וליאונרד ברנשטיין.
אשנבאך זכה במספר רב של פרסים ראשונים בתחרויות פסנתר. בשנת 1964 ניגן בהקלטה ראשונה לחברת דויטשה גרמופון (יצירה של מוצרט) וחתם על חוזה הקלטות עם החברה.
אשנבאך נודע בעזרה ובתמיכה שהוא מגיש למוזיקאים צעירים ומוכשרים בפיתוח הקריירה שלהם. בין אלה שנהנו מעזרתו זמרת הסופרן רנה פלמינג והפסנתרנים צימון בארטו ולאנג לאנג.