בילדותו שיחק בקבוצות הנוער הסלובניות טריגלאב ובריטוף. בגיל 19 החל איליצ'יץ' את הקריירה המקצועית שלו כשחקן בוגר בקבוצת בוניפיקה.
בקיץ 2008 חתם בקבוצת אינטרבלוק ששיחקה בליגה הראשונה בסלובניה. ב-9 באוגוסט2008 הופיע איליצ'יץ' לראשונה במדי בוניפיקה כשעלה מהספסל בדקה ה-81 מול קבוצת רודאר ולנג'ה. ב-7 במרץ2008 כבש את שערו הראשון בקריירה במדי הקבוצה הבוגרת נגד קבוצת דראווה פטוי וב-20 במאי2009 כבש את השלושער הראשון שלו בקריירה, במשחק מול קבוצת NK נאפטה. ב-29 באפריל2009 הבקיע איליצ'יץ' את שער הניצחון של אינטרבלוק במסגרת חצי גמר הגביע הסלובני נגד מאריבור, שזכתה באליפות הליגה באותה העונה, המשחק הסתיים בתוצאה 3–2. איליצ'יץ' וקבוצתו הגיעו לגמר הגביע ואף זכו בו.
בקיץ 2010 חתם איליצ'יץ' במאריבור עבור סכום של כ-72 אלף פאונד, ושיחק במדיה במוקדמות הליגה האירופית 2010/11 ובמחזורים הראשונים של הליגה הסלובנית. איליצ'יץ' רשם בסך הכל 11 הופעות במדי מאריבור בכל המסגרות, כשמתוכן כבש ארבעה שערים (שלושה שערים במוקדמות הליגה האירופית).
ב-28 באוגוסט 2010, יום לאחר הדחתה של מאריבור על ידי פלרמו האיטלקית ממוקדמות הליגה האירופית, חתם איליצ'יץ' בפלרמו. את שערו הראשון בפלרמו כבש כבר במשחקו השני נגד אינטר מילאנו ב-19 בספטמבר 2010, המשחק הסתיים בניצחונה של אינטר מילאנו בתוצאה של 1–2. באותה עונה הגיעה פלרמו לגמר הגביע האיטלקי, כשאיליצ'יץ' היה חלק משמעותי מאוד בשלב חצי הגמר, כשבישל שני שערים נגד מילאן. בגמר הפסידה פלרמו לאינטר מילאנו בתוצאה 1–3. באותה עונה (2010/2011) כשזו הייתה גם עונתו הראשונה באיטליה, רשם איליצ'יץ' במדי פלרמו 39 הופעות בכל המסגרות כשמתוכן רשם שמונה שערים ובישל עשרה, בגיל 22. בעונת 2011/2012 כבש שישה שערים ובישל שישה נוספים ב-33 הופעות בכל המסגרות במדי פלרמו ואף עזר לקבוצתו למנוע ירידה לסרייה ב'. ב-6 בינואר2013 הופיע לראשונה במדי פלרמו כקפטן הקבוצה במשחק נגד פארמה, המשחק הסתיים בתוצאה 1–2 לטובת פארמה. באותה העונה (2012/2013), מתוך 31 הופעות ליגה, כבש עשרה שערים ובישל שניים, אך הפעם נשרה הקבוצה לסרייה ב' לאחר שסיימה במקום ה-18 בטבלה עם 32 נקודות.
ב-23 ביולי2013 חתם איליצ'יץ' בפיורנטינה שסיימה במקום הרביעי בסרייה א', תמורת כשמונה מיליון פאונד. ב-3 במאי2014 שיחק בגמר הגביע האיטלקי נגד נאפולי, ואף הצליח לרשום בישול באותו משחק. משחק הגמר הסתיים בניצחונה של נאפולי בתוצאה 1–3. בעונת 2014/2015 הצליחו איליצ'יץ' ופיורנטינה להגיע עד לשלב חצי הגמר של הליגה האירופית, שם הפסידו 0–5 לסביליה בסיכום שני המשחקים. בעונת 2015/2016 כבש 13 שערים ובישל חמישה ב-30 הופעות במסגרת הליגה. ב-18 בדצמבר2016 רשם את הופעתו הראשונה במדי פיורנטינה כקפטן הקבוצה במשחק נגד לאציו, המשחק הסתיים בתוצאה 1–3 לטובת לאציו.
ב-5 ביולי2017 חתם באטאלנטה ששילמה עליו סכום של כחמישה מיליון פאונד. עמו העפילה הקבוצה לשלב 32 האחרונות של הליגה האירופית, שם הוגרלה נגד בורוסיה דורטמונד. ב-15 בפברואר2018 העלה איליצ'יץ' את קבוצתו ליתרון זמני כשהתוצאה עמדה על 2–1 לטובת אטאלנטה במשחק החוץ נגד בורוסיה דורטמונד, אך לבסוף הקבוצה הפסידה 2–3 כאיליצ'יץ' מבקיע צמד. אטאלנטה הודחה מהליגה האירופית לאחר שסיימה בתוצאת שוויון במשחק הגומלין בין הקבוצות. עונה לאחר מכן (2018/2019) סייע איליצ'יץ' לאטאלנטה להגיע לגמר הגביע האיטלקי לאחר שגברו על יריבות חזקות כגון: יובנטוס ופיורנטינה. במשחק הגמר מול לאציו הפסידה אטאלנטה בתוצאה 0–2. באותה העונה סיימה אטאלנטה במקום השלישי בטבלת הסרייה א', מה שהבטיח לה עלייה לשלב הבתים של ליגת האלופות בפעם הראשונה בתולדות המועדון. בעונת 2019/2020 הציג איליצ'יץ' יכולת טובה כשאטאלנטה הביסה קבוצות בתוצאות גבוהות כמו: מילאן (0–5), פארמה (0–5), אודינזה (1–7), טורינו (0–7) ולצ'ה (2–7). באותה העונה העפילה אטאלנטה לשלב שמינית הגמר של ליגת האלופות לאחר שסיימה במקום השני בשלב הבתים. ב-10 במרץ2020 כבש רביעייה נגד ולנסיה הספרדית והבטיח את העלייה של אטאלנטה לשלב רבע הגמר של ליגת האלופות, לאחר שהמשחק הסתיים בתוצאה 4–3 לאטאלנטה. הוא הפך לשחקן הראשון שכובש רביעייה במשחק חוץ בשלב הנוקאאוט בליגת האלופות. והמבוגר ביותר לעשות זאת, את ההישג הזה עשה בגיל 32 ו-41 ימים וכך עבר את שיאו של זלאטן, לאחר המשחק זכה איליצ'יץ' בפרס שחקן השבוע בליגת האלופות. בסיום באותה שנה היה איליצ'יץ' בין 50 המועמדים לקבוצת השנה של אופ"א.
ב-31 באוגוסט 2022, לאחר חמש שנים במועדון, שוחרר איליצ'יץ' מאטאלנטה בהסכמה הדדית על רקע אי יכולתו להתייצב למשחקי קבוצתו עקב משבר בחייו האישיים. במהלך כל התקופה שלו במועדון ערך איליצ'יץ' 173 הופעות וכבש 60 שערים. איליצ'יץ' הגיע לכדי פרישה ממשחק פעיל בתחילת עונת 2022/23 בעקבות מה שדווח כ"סיבות אישיות". ב-5 באוקטובר 2022 חזר מפרישתו וחתם לשלוש שנים במאריבור.[1]
ב-2020 סבל מדיכאון עקב משבר בחייו האישיים, לאחר שגילה כי אשתו ניהלה רומן מחוץ לנישואים בזמן שהוא שיחק באיטליה. איליצ'יץ' התאושש וחזר למגרשים כעבור מספר חודשים אך בשלהי שנת 2021 סבל מדיכאון פעם נוספת ונעדר מהמגרשים עד לסיום עונת 2021/22 ואף הודיע על פרישה ממשחק פעיל בעקבות מצבו, טרם חזר למגרשים באוקטובר 2022.
