Naceu en Kaunas, daquela pertencente á Unión Soviética, ao igual outros grandes xogadores de baloncesto como Arvydas Sabonis, Šarūnas Marčiulionis, Žydrūnas Ilgauskas, Linas Kleiza ou Donatas Motiejūnas. Jasikevicius foise aos Estados Unidos a unha idade temperá, xogando nun instituto de Pensilvania e máis tarde na Universidade de Maryland. Na súa carreira universitaria, ofreceu un rendemento correcto como escolta, mais non convenceu a ningún equipo da NBA e, ao acabar o seu ciclo universitario retorna a Lituania, onde xoga co Lietuvos Rytas na tempada 1998-99. Un ano despois, asina coa Union Olimpija de Eslovenia, onde estivo ás ordes do estrito Zmago Sagadin. "Saras", como é coñecido, consegue ese mesmo ano unha medalla de bronce nos Xogos Olímpicos de Sidney 2000, cando a selección lituana perdeu contra a norteamericana nas semifinais por unha diferenza de tan só dous puntos. Foi a vitoria máis axustada da historia da selección americana de baloncesto dende que empezou a utilizar xogadores NBA, e un triplo de Jasikevicius no último segundo puido supoñer a vitoria para os bálticos.
Despois de aparecer na escena internacional, Jasikevičius asinou co FC Barcelona, onde Aíto García Reneses reconverteuno en base, xogando alí dende o 2000 até 2003. Durante eses anos converteuse nun dos mellores xogadores de Europa, chegando a gañar a Euroliga do 2003 xunto a outras estrelas como Dejan Bodiroga, Juan Carlos Navarro ou Gregor Fučka. Ese mesmo ano gañou o Eurobasket coa selección lituana, gañando na final á España de Pau Gasol sendo elixido mellor xogador do torneo.
Debido aos recortes orzamentarios do equipo de baloncesto do FC Barcelona por parte do novo presidente Joan Laporta, Jasikevičius tivo que abandonar o club, e foi o Maccabi Tel Aviv o equipo co que asinou un novo contrato. Alí gañou dúas Euroliga consecutivas, a de 2003-04 e a do 2004-05. Nos Xogos Olímpicos de Atenas 2004, conseguiu desquitarse da derrota de Sidney, anotando vinte e oito puntos que foron claves para a vitoria contra os Estados Unidos, e marabillando aos estadounidenses co seu xogo, o que propiciou o seu salto á NBA o verán seguinte.
NBA
No verán do 2005, Jasikevičius deu o salto á NBA ao asinar cos Indiana Pacers. O seu estilo de xogo semellaba propicio para obter bos resultados e ter unha proveitosa carreira na NBA. Porén, a súa primeira tempada (2005-06) foi decepcionante para o que se esperaba del, facendo medias de 7,3 puntos e 3,0 asistencias en 20,8 minutos por partido. Na segunda tempada (2006-07) decrecen os seus minutos pero mantense a súa produción (7,4 puntos e 3,0 asistencias en 17,9 min). Despois de 37 partidos, os Pacers inclúeno nun traspaso de oito xogadores a Golden State Warriors no que recibirían a xogadores como Troy Murphy ou Ike Diogu mentres que en San Francisco, Golden State recibe a Al Harrington e Josh Powell, entre outros.
Neste traspaso parecía que "Saras" podía saír incriblemente beneficiado xa que o xogo dos Warriors de Don Nelson era de elevado carácter ofensivo, en contraposición co xogo lento, estático e puramente defensivo dos Pacers de Rick Carlisle. De feito, non eran poucos os que pensaban que o fracaso de Jasikevičius en Indiana era debido á mentalidade defensiva de xogo que quería implementar Carlisle chocando frontalmente co estilo do xogador lituano.
Con todo, Jasikevičius tampouco triunfou en San Francisco, xa que a rotación dos Warriors estaba moi ben definida, e a pesar de que o estilo era perfectamente compatible co seu xogo, non achou minutos, atopándose nunha situación moi parecida á que posteriormente se vería envolvido nese equipo outro europeo: o base italianoMarco Belinelli. Como resultado, na franquía californiana os minutos de Jasikevičius son aínda máis escasos que en Indiana (12,0 min) e o seu rendemento vese drasticamente afectado: 4,3 puntos e 2,3 asistencias por partido.
Retorno a Europa
Finalmente, decide pór fin á súa aventura na NBA e volve a Europa, aterrando na liga grega da man do Panathinaikos, onde gña tres ligas (2008, 2009, 2010), dúas copas (2008, 2009) e outra Euroliga, a de 2008-09, o que supuxo a súa cuarta tripla coroa (gañar a liga, copa e Euroliga nun mesmo ano), o que o converte ademais no xogador que máis conseguiu na historia. En novembro de 2010, tras concluír o seu contrato co Panathinaikos e estar uns meses sen equipo, firma até final de tempada co Lietuvos Rytas, club ao que regresou despois de dez tempadas. Ao ano seguinte, en xaneiro de 2011, asinaría contrato co Fenerbahçe Ülkerturco, co que gañaría a liga e a copa nacionais. En setembro de 2011 regresa a Atenas para xogar de novo no Panathinaikos.