existen infinitos primos de Mersenne
Un número M é un número de Mersenne se é unha unidade menor que unha potencia de 2. Mn = 2n − 1. Un número primo de Mersenne é un número de Mersenne que ademais é primo, é dicir, Mn = 2n − 1, con n primo (non é unha condición suficiente que n sexa primo para que Mn o sexa).[1]
Denomínanse así en memoria do filósofo e matemático francés do século XVII Marin Mersenne, quen na súa Cognitata Physico-Mathematica realizou unha serie de postulados sobre eles que só puido refinarse tres séculos despois. Aínda que se coñece que estes números xa eran considerados por Euclides de Alexandría (360 a.C. a 295 a.C.), o eminente matemático platónico, creador da xeometría euclidiana, Marin Mersenne chegou a compilar unha listaxe de números primos de Mersenne con expoñentes menores ou iguais a 257, e conxecturou acerca de que eran os únicos números primos desa forma. A súa listaxe só resultou ser parcialmente correcta, xa que por erro incluíu M67 e M257, que son compostos, e omitiu M61, M89 e M107, que son primos; e a súa conxectura revelaríase falsa coa descuberta de números primos de Mersenne máis grandes[2]. Non achegou indicación ningunha sobre como deu con esa listaxe, e a súa verificación rigorosa só se completou máis de dous séculos despois.
Un resultado elemental sobre os números de Mersenne afirma que se 2n – 1 é un número primo, daquela n tamén é un número primo. Iso porque o polinomio xnm – 1 é divisible polo polinomio xn – 1:
xnn – 1 = (xn – 1) * (xn(m–1) + xn(m–2) ... + x2n + xn + 1)
e os dous factores para x = 2 son números maiores que 1. {\displaystyle }
Unha das cuestións en aberto na matemática é se existen finitos ou infinitos primos de Mersenne.
Outra propiedade é que, sabendo que xn – 1 é divisible polo polinomio x – 1, podemos admitir que só con x = 2 se poden obter números primos en expresións do tipo xn – 1. {\displaystyle }
O número primo máis grande que se coñecía en calquera data case sempre era un número primo de Mersenne: desde que comezou a era electrónica en 1951, sempre foi así agás en 1951 e entre 1989 e 1992.
En xaneiro de 2016 só se coñecen 49 números primos de Mersenne, dos cales o maior é M74.207.281 = 274.207.281 − 1, un número de máis de vinte e dous millóns de cifras que foi descuberto polo Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), proxecto centralizado na Universidade de Central de Missouri.[3]
A táboa seguinte amosa a listaxe dos números primos de Mersenne coñecidos, acompañados dos descubridores e da época.[4]