Igualdade (matemáticas)

Signo Igual

En matemáticas, a igualdade é unha relación entre dúas cantidades ou, de xeito máis xeral, dúas expresións matemáticas, afirmando que as cantidades teñen o mesmo valor ou que as expresións representan o mesmo obxecto matemático. A igualdade entre A e B escríbese A = B, e pronúnciase "A é igual B". Nesta igualdade, A e B son os membros da igualdade e distínguense chamándoos lado esquerdo ou membro esquerdo (en inglés LHS), e o lado dereito ou membro dereito (en inglés RHS). Dous obxectos que non son iguais dise que son distintos.

Unha fórmula como ${\displaystyle x=y,}$ onde x e y son calquera expresións, significa que x e y denotan ou representan o mesmo obxecto. ^[1] Por exemplo,

${\displaystyle 1.5=3/2,}$

son dúas notacións para o mesmo número. Do mesmo xeito, un exemplo con conxuntos,

${\displaystyle \{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ and }}0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},}$

xa que os dous conxuntos teñen os mesmos elementos.

Unha identidade, como ${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,}$ significa que se x se substitúe por calquera número, daquela as dúas expresións toman o mesmo valor. ^{[2] [3]}

Propiedades básicas

• Reflexividade : para cada a, temos a = a.
• Simetría : para cada a e b, se a = b, logo b = a.
• Transitividade : para cada a, b e c, se a = b e b = c, daquela a = c. 
• Substitución (lóxica): informalmente, isto só significa que se a = b, logo a pode substituír b en calquera fórmula matemática.
• Aplicación de operación: para a e b, con algunha operación ${\displaystyle f(x)}$, se a = b, daquela ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. Por exemplo:
  • Dados os números reais a, e b, se a = b, daquela ${\displaystyle 2a-5=2b-5}$ . (Aquí, ${\displaystyle f(x)=2x-5}$)
  • Dados os números reais a, e b, se ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$, daquela ${\displaystyle a^{2}/b^{2}=2}$ . (Aquí, ${\displaystyle f(x)=x/b^{2}}$)

Se se restrinxe aos elementos dun conxunto dado, esas tres primeiras propiedades fan da igualdade unha relación de equivalencia, a única cuxas clases de equivalencia son conxuntos unitarios.

Identidades

Cando A e B poden verse como funcións dalgunhas variables, daquela A = B significa que A e B definen a mesma función. Tal igualdade de funcións ás veces chámase identidade. Un exemplo é ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.}$ Ás veces, mais non sempre, unha identidade escríbese cunha barra tripla: ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$ ^[4]

Ecuacións

Unha ecuación é o problema de atopar valores dalgunha variábel, chamada incógnita, para a cal a igualdade especificada é certa. Cada valor da incógnita para o cal se cumpre a ecuación chámase solución da ecuación; tamén se di que satisfai a ecuación dada. Por exemplo, a ecuación ${\displaystyle x^{2}-6x+5}$ ten os valores ${\displaystyle x=1}$ e ${\displaystyle x=5}$ como as súas únicas solucións. A terminoloxía úsase de xeito similar para ecuacións con varias incógnitas. ^[5]

Relación con equivalencia, congruencia e isomorfismo

Vista como unha relación, a igualdade é o arquetipo do concepto máis xeral dunha relación de equivalencia nun conxunto: aquelas relacións binarias que son reflexivas, simétricas e transitivas. A relación de identidade é unha relación de equivalencia. No outro sentido, sexa R unha relación de equivalencia, e denotemos por x^R a clase de equivalencia de x, constituída por todos os elementos z tal que x R z, daquela a relación x R y é equivalente á igualdade x^R = y^R. De aquí temos que a igualdade é a relación de equivalencia máis fina de calquera conxunto S no sentido de que é a relación que ten as clases de equivalencia máis pequenas (cada clase redúcese a un só elemento).

Nalgúns contextos, a igualdade distínguese da equivalencia ou o isomorfismo.^[6] Esta distinción dá lugar á noción de conxunto cociente.

Os conxuntos

${\displaystyle \{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}}$ e ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

non son conxuntos iguais (o primeiro está formado por letras, mentres que o segundo está formado por números), mais ambos os dous son conxuntos de tres elementos e, polo tanto, isomórficos, o que significa que hai unha bixección entre eles. Por exemplo

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.}$

No entanto, hai outras opcións de isomorfismo, como

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

e estes conxuntos non se poden identificar como equivalentes sen facer esa escolla previa: calquera afirmación que os identifique "depende da escolla de identificación". Esta distinción, entre igualdade e isomorfismo, é de importancia fundamental na teoría de categorías e é unha motivación para o desenvolvemento da teoría de categorías.

Nalgúns casos, pódense considerar iguais dous obxectos matemáticos que só son equivalentes para as propiedades e estrutura que se están considerando. A palabra congruencia (e o símbolo asociado ${\displaystyle \cong }$ ) úsase con frecuencia para este tipo de igualdade, e defínese como o conxunto cociente das clases de isomorfismo entre os obxectos. En xeometría, por exemplo, dise que dúas formas xeométricas son iguais ou congruentes cando unha se pode mover para que coincida coa outra, e a relación igualdade/congruencia son as clases de isomorfismo das isometrías entre as formas. Do mesmo xeito que os isomorfismos de conxuntos, a diferenza entre isomorfismos e igualdade/congruencia entre eses obxectos matemáticos con propiedades e estrutura foi unha motivación para o desenvolvemento da teoría de categorías.

Igualdade na teoría de conxuntos

A igualdade de conxuntos axiomatízase na teoría de conxuntos de dúas formas diferentes, dependendo de se os axiomas están baseados nunha linguaxe de primeira orde con ou sen igualdade.

Igualdade baseándose na lóxica de primeira orde coa igualdade

Na lóxica de primeira orde con igualdade, o axioma de extensionalidade afirma que dous conxuntos que conteñen os mesmos elementos son o mesmo conxunto. ^[7]

• Axioma lóxico: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Axioma lóxico: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• Axioma da teoría de conxuntos: ${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

"A razón pola que asumimos o cálculo de predicados de primeira orde coa igualdade é unha cuestión de conveniencia; con isto aforramos o traballo de definir a igualdade e probar todas as súas propiedades; esta carga é agora asumida pola lóxica". ^[8]

Igualdade baseándose na lóxica de primeira orde sen igualdade

Na lóxica de primeira orde sen igualdade, defínese que dous conxuntos son iguais se conteñen os mesmos elementos. Entón o axioma de extensionalidade afirma que dous conxuntos iguais están contidos nos mesmos conxuntos.^[9]

• Definición da teoría de conxuntos: ${\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Axioma da teoría de conxuntos: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

Notas

1. Rosser 2008.
2. Equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613
3. Pratt, Vaughan, "Algebra", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2022 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
4. "Identidade". www.mathopenref.com. 
5. Equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613
6. (Mazur 2007)
7. Kleene 2002. Lévy 2002. Shoenfield 2001.
8. Lévy 2002.
9. Mendelson 1964. Rosser 2008

Véxase tamén

Bibliografía

• Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Mathematical Logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7. 
• Lévy, Azriel (2002) [1979]. Basic set theory. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (Third ed.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 
• Mazur, Barry (12 June 2007). When is one thing equal to some other thing? (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 24 October 2019. Consultado o 13 December 2009. 
• Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostrand Reinhold. 
• Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Logic for mathematicians. Mineola, New York: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3. 
• Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Mathematical Logic (2nd ed.). A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2. 

Outros artigos

• Desigualdade
• Símbolos matemáticos
• Igualdade lóxica

Ligazóns externas

• "Equality axioms". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].