Clase de equivalencia

A congruencia é un exemplo de relación de equivalencia. Os dous triángulos máis á esquerda son congruentes, mentres que os triángulos terceiro e cuarto non son congruentes con ningún outro triángulo mostrado no debuxo. Así, os dous primeiros triángulos están na mesma clase de equivalencia, mentres que o terceiro e o cuarto triángulos están en cadansúa clase de equivalencia composta polos cadanseus triángulos congruentes.

En matemáticas, cando os elementos dalgún conxunto ${\displaystyle S}$ teñen unha noción de equivalencia (formalizada como unha relación de equivalencia), daquela pódese dividir de xeito natural o conxunto ${\displaystyle S}$ en clases de equivalencia. Estas clases de equivalencia constrúense para que os elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ pertencen á mesma clase de equivalencia se, e só se, son equivalentes.

Formalmente, dado un conxunto ${\displaystyle S}$ e unha relación de equivalencia ${\displaystyle \,\sim \,}$ en ${\displaystyle S,}$ a clase de equivalencia dun elemento ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle S}$ denótase ${\displaystyle [a]}$ ou, equivalentemente, ${\displaystyle [a]_{\sim }}$ para resaltar a súa relación de equivalencia ${\displaystyle \sim .}$ A definición de relacións de equivalencia implica que as clases de equivalencia forman unha partición de ${\displaystyle S,}$ é dicir, que cada elemento do conxunto pertence exactamente a unha clase de equivalencia. O conxunto das clases de equivalencia chámase ás veces conxunto cociente ou espazo cociente de ${\displaystyle S}$ por ${\displaystyle \,\sim \,,}$ e denótase ${\displaystyle S/{\sim }.}$

Cando o conxunto ${\displaystyle S}$ ten algunha estrutura (como unha operación de grupo ou unha topoloxía) e a relación de equivalencia ${\displaystyle \,\sim \,}$ é compatible con esta estrutura, o conxunto cociente adoita herdar unha estrutura similar do seu conxunto pai. Os exemplos inclúen espazos cocientes en álxebra linealr, espazos cocientes en topoloxía, grupos cocientes, espazos homoxéneos, aneis cocientes, monoides cocientes e categorías cocientes.

Definición e notación

Unha relación de equivalencia nun conxunto ${\displaystyle X}$ é unha relación binaria ${\displaystyle \,\sim \,}$ en ${\displaystyle X}$ que satisfai as tres propiedades:^[1]

• ${\displaystyle a\sim a}$ para todos os ${\displaystyle a\in X}$ (reflexividade),
• ${\displaystyle a\sim b}$ implica ${\displaystyle b\sim a}$ para todos ${\displaystyle a,b\in X}$ (simetría),
• se ${\displaystyle a\sim b}$ e ${\displaystyle b\sim c}$ entón ${\displaystyle a\sim c}$ para todos ${\displaystyle a,b,c\in X}$ (transitividade).

A clase de equivalencia dun elemento ${\displaystyle a}$ defínese como ^[2]

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

A palabra "clase" na expresión "clase de equivalencia" pode considerarse xeralmente como un sinónimo de " conxunto".

O conxunto de todas as clases de equivalencia en ${\displaystyle X}$ respecto dunha relación de equivalencia ${\displaystyle R}$ denotase como ${\displaystyle X/R,}$ e chámase ${\displaystyle X}$ módulo ${\displaystyle R}$ (ou o conxunto cociente de ${\displaystyle X}$ por ${\displaystyle R}$). ^[3] O mapa sobrexectivo ${\displaystyle x\mapsto [x]}$ dende ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle X/R,}$ que asigna cada elemento á súa clase de equivalencia, chámase sobrexección canónica ou proxección canónica.

Cada elemento dunha clase de equivalencia caracteriza a clase e pódese usar para representala. Cando se escolle un elemento deste tipo, chámase representante da clase. A elección dun representante en cada clase define unha inxección de ${\displaystyle X/R}$ en X. Xa que a súa composición coa sobrexección canónica é a identidade de ${\displaystyle X/R,}$ tal inxección chámase sección, cando se usa a terminoloxía da teoría das categorías.

Ás veces, hai unha sección máis "natural" que as outras. Neste caso, os representantes chámanse representantes canónicos. Por exemplo, en aritmética modular, para cada número enteiro m maior que 1, a congruencia módulo m é unha relación de equivalencia sobre os enteiros, para a cal dous enteiros a e b son equivalentes, neste caso, dise congruente, se m divide a ${\displaystyle a-b;}$ isto denotase como ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$ Cada clase contén un número enteiro único non negativo menor que ${\displaystyle m,}$ e estes enteiros son os representantes canónicos.

Propiedades

Todo elemento ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ é membro da clase de equivalencia ${\displaystyle [x].}$ Dadas dúas clases de equivalencia ${\displaystyle [x]}$ e ${\displaystyle [y]}$ son iguais ou disxuntas. Polo tanto, o conxunto de todas as clases de equivalencia de ${\displaystyle X}$ forma unha partición de ${\displaystyle X}$: cada elemento de ${\displaystyle X}$ pertence a unha e só unha clase de equivalencia.^[4] No outro sentido, cada partición de ${\displaystyle X}$ procede dunha relación de equivalencia deste xeito, segundo a cal ${\displaystyle x\sim y}$ se e só se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ pertencen ao mesmo conxunto da partición.^[5]

Das propiedades da sección anterior despréndese que se ${\displaystyle \,\sim \,}$ é unha relación de equivalencia nun conxunto ${\displaystyle X,}$ e ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ son dous elementos de ${\displaystyle X,}$ as seguintes afirmacións son equivalentes:

• ${\displaystyle x\sim y}$
• ${\displaystyle [x]=[y]}$
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

Exemplos

• Sexa ${\displaystyle X}$ o conxunto de todos os rectángulos nun plano, e ∼ a relación de equivalencia "ten a mesma área que", entón para cada número real positivo 𝐴, haberá unha clase de equivalencia de todos os rectángulos que teñan área 𝐴.

• Considere a relación de equivalencia módulo 2 no conxunto de enteiros, ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ tal que 𝑥∼𝑦 se e só se a súa diferenza 𝑥 − 𝑦 é un número par. Esta relación dá lugar a exactamente dúas clases de equivalencia: unha clase está formada por todos os números pares e a outra está formada por todos os números impares. Usando corchetes arredor dun membro da clase para indicar unha clase de equivalencia baixo esta relación, [7], [9], e [1] todos representan o mesmo elemento de ${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$

• Sexa ${\displaystyle X}$ o conxunto de pares ordenados de enteiros (𝑎,𝑏) con 𝑏 non cero, e definimos unha relación de equivalencia ∼ en ${\displaystyle X}$ tal que (𝑎, 𝑏) ∼ (𝑐,𝑑) se e só se 𝑎𝑑=𝑏𝑐, entón a clase de equivalencia do par (𝑎,𝑏) pódese identificar co número racional 𝑎/𝑏, e esta relación de equivalencia e as súas clases de equivalencia pódense usar para dar unha definición formal do conxunto de números racionais. A mesma construción pódese xeneralizar ao corpo de fraccións de calquera dominio integral.

• Se ${\displaystyle X}$ consiste en todas as liñas do plano euclidiano e 𝐿∼𝑀 significa que 𝐿 e 𝑀 son rectas paralelas, daquela o conxunto de liñas paralelas entre si forman unha clase de equivalencia, sempre que unha recta se considere paralela a si mesma. Nesta situación, cada clase de equivalencia determina un punto no infinito.

Invariantes

Se ${\displaystyle \,\sim \,}$ é unha relación de equivalencia en ${\displaystyle X,}$ e ${\displaystyle P(x)}$ é unha propiedade dos elementos de ${\displaystyle X}$ tal que sempre que ${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$ é certo se ${\displaystyle P(y)}$ é tamén certo, daquela a propiedade ${\displaystyle P}$ dise que é unha invariante de ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ou que está ben definido baixo a relación ${\displaystyle \,\sim .}$

Calquera función ${\displaystyle f:X\to Y}$ é unha invariante de clase baixo ${\displaystyle \,\sim \,,}$ segundo o cal ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ se e só se ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$ A clase de equivalencia de ${\displaystyle x}$ é o conxunto de todos os elementos en ${\displaystyle X}$ nos que se mapean ${\displaystyle f(x),}$ é dicir, a clase ${\displaystyle [x]}$ é a imaxe inversa de ${\displaystyle f(x).}$ Esta relación de equivalencia coñécese como kernel de ${\displaystyle f.}$

De forma máis xeral, unha función pode mapear argumentos equivalentes (baixo unha relación de equivalencia ${\displaystyle \sim _{X}}$ en ${\displaystyle X}$ ) a valores equivalentes (baixo unha relación de equivalencia ${\displaystyle \sim _{Y}}$ en ${\displaystyle Y}$). Tal función é un morfismo de conxuntos equipados cunha relación de equivalencia.

Espazo cociente na topoloxía

En topoloxía, un espazo cociente é un espazo topolóxico formado sobre o conxunto de clases de equivalencia dunha relación de equivalencia nun espazo topolóxico, utilizando a topoloxía do espazo orixinal para crear a topoloxía no conxunto de clases de equivalencia.

As órbitas dunha acción de grupo nun conxunto poden denominarse espazo cociente da acción sobre o conxunto.

Un subgrupo normal dun grupo topolóxico, que actúa sobre o grupo por acción de translación, é un espazo cociente nos sentidos de topoloxía, álxebra abstracta e accións de grupo.

Notas

1. Devlin 2004, p. 122.
2. Devlin 2004, p. 123.
3. Wolf 1998
4. Maddox 2002
5. Avelsgaard 1989

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Clase de equivalencia

Bibliografía

• Avelsgaard, Carol (1989). Foundations for Advanced Mathematics. Scott Foresman. ISBN 0-673-38152-8. 
• Devlin, Keith (2004). Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics (3rd ed.). Chapman & Hall/ CRC Press. ISBN 978-1-58488-449-1. 
• Maddox, Randall B. (2002). Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. ISBN 0-12-464976-9. 
• Wolf, Robert S. (1998). Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. ISBN 978-0-7167-3050-7. 

Outros artigos

• Grupo cociente
• Relación de equivalencia