Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Définitions

Définitions — Soit ν une mesure positive sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et soient ρ, ρ des mesures positives ou complexes sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

• On dit que ρ est absolument continue par rapport à ν, et l'on note ρ ≪ ν, si pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ tel que ν(A) = 0, on a également ρ(A) = 0.
• On dit que ρ est portée par^[1] ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ (ou concentrée sur E) si pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ on a ρ(A) = ρ(A ∩ E). (Cela équivaut à l'hypothèse : pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ρ(A\E) = 0.)
• On dit que ρ et ρ sont mutuellement singulières^[1] (ou étrangères), et l'on note ρ ⊥ ρ, s'il existe ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ telle que ρ soit portée par E et ρ soit portée par E^c.

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un résultat de théorie de la mesure, cependant une démonstration faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XX^e siècle^[1]. Il s'énonce de la façon suivante :

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue — Soient ν une mesure positive σ-finie sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et μ une mesure positive σ-finie (respectivement réelle, resp. complexe) sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

• Il existe un unique couple (μ₁, μ₂) de mesures positives σ-finies (resp. réelles, resp. complexes) tel que :
  • ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2},}$
  • ${\displaystyle \mu _{1}\ll \nu ,}$
  • ${\displaystyle \mu _{2}\perp \nu .}$

Cette décomposition s'appelle la décomposition de Lebesgue (en) de μ par rapport à ν.

• Il existe une unique (à égalité ν-presque partout près) fonction h mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe) telle que pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ on ait :${\displaystyle \mu _{1}(A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}h~\mathrm {d} \nu .}$Cette fonction h s'appelle la dérivée de Radon-Nikodym de μ₁ par rapport à ν.

Propriétés de la dérivée de Radon-Nikodym

La dérivée de Radon-Nikodym a les propriétés suivantes^[2] :

• Soient ν, μ et λ des mesures σ-finies sur le même espace mesurable. Si ν ≪ λ et μ ≪ λ (ν et μ sont toutes deux absolument continues par rapport à λ), alors

$${\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-presque partout}}.}$$

• Si ν ≪ μ ≪ λ, alors

$${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-presque partout}}.}$$

• En particulier, si μ ≪ ν et ν ≪ μ, alors

$${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-presque partout}}.}$$

• Si μ ≪ λ et g est une fonction μ-intégrable, alors

$${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}$$

Densité d'une mesure

Définition —  Soit ν une mesure positive σ-finie sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et soit ρ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}).}$ On dit que ρ possède une densité h par rapport à ν si h est une fonction mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ on ait :

${\displaystyle \rho (A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu .}$

On note

${\displaystyle h={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \nu }}.}$

En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :

Proposition — Soient ν une mesure positive σ-finie sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et μ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}).}$ Il y a équivalence entre :

• ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$
• μ possède une densité par rapport à ν.

Démonstration

Si ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ alors, clairement, ${\displaystyle \mu =\mu +0}$ est une décomposition de μ satisfaisant le théorème de Radon-Nikodym donc, en vertu de la dernière partie du théorème, μ possède une densité par rapport à ν. Réciproquement, notons h la densité de μ par rapport à ν. Si

${\displaystyle \nu (A)=\int _{X}1_{A}~\mathrm {d} \nu =0,}$

alors ${\displaystyle 1_{A}}$ est nul ν-presque partout. Il suit que ${\displaystyle 1_{A}\,h}$ est nul ν-presque partout également, donc

${\displaystyle \mu (A)=\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu =0.}$

L'hypothèse de σ-finitude est importante : par rapport à la mesure de comptage, une mesure est toujours absolument continue mais celle de Lebesgue sur ℝ (par exemple) n'a pas de densité.

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Rappel — 

• On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X à valeurs dans ℝ^d une fonction f mesurable, telle que pour toute partie borélienne A ⊂ ℝ^d :${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\ 1_{A}(u)\,f(u)~\mathrm {d} u=\int _{A}\ f(u)~\mathrm {d} u.}$
• La loi de probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ d'une variable aléatoire ${\displaystyle X}$ à valeurs dans ℝ^d est la mesure de probabilité définie, pour toute partie borélienne A ⊂ ℝ^d, par :${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(A)=\mathbb {P} (X\in A).}$
• Si d = 1, X est appelée une variable aléatoire réelle, ou encore v.a.r.

Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :

• Une variable aléatoire Z à valeur dans ℝ^d possède une densité de probabilité.
• La mesure ${\displaystyle \mathbb {P} _{Z}}$ possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ^d.
• La mesure ${\displaystyle \mathbb {P} _{Z}}$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ^d.

Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste.

Critère — Une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ^d possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien A de ℝ^d dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z\in A\right)=0.}$

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que Z possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire Z = (X, Y) possède une densité, alors :

• ${\displaystyle \mathbb {P} \left(X=Y\right)=0,}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} \left(X^{2}+Y^{2}=1\right)=0,}$

car la mesure de Lebesgue (autrement dit, l'aire) de la première bissectrice (resp. du cercle unité) est nulle.

Plus généralement, la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable φ étant nulle, il suit que :

• ${\displaystyle \mathbb {P} \left(Y=\varphi (X)\right)=0.}$

De même, il y a de nombreux exemples où, du fait que l'ensemble ${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \psi (x,y)=0\right\}}$ est de mesure de Lebesgue nulle, on peut conclure que :

• ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\psi (X,Y)=0\right)=0.}$

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité, par exemple si :

${\displaystyle Z=\left(\cos \Theta ,\sin \Theta \right),}$

où Θ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 2π], alors Z ne possède pas de densité car :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X^{2}+Y^{2}-1=0\right)=1.}$

Remarque — Dans le cas d = 1, une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.

Note et référence

1. Voir par exemple Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] pour de plus amples détails.
2. (en) Yaiza Bermudez, Gaëtan Bisson, Iñaki Esnaola, and Samir M. Perlaza, « Proofs for Folklore Theorems on the Radon-Nikodym Derivative », 2025.

Bibliographie

• (en) Leo Egghe, Stopping Time Techniques for Analysts and Probabilists, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series », 1984, 351 p. (ISBN 978-0-521-31715-3, lire en ligne)
• (en) Gerald Folland (en), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, 2013, 2^e éd. (lire en ligne)
• (en) J. von Neumann, « On rings of operators, III », Ann. Math., vol. 41, n^o 1,‎ 1940, p. 94-161 (lire en ligne) (cf. p. 127-130)
• Otton Nikodym, « Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon », Fund. Mat., vol. 15,‎ 1930, p. 131-179 (zbMATH 56.0922.02, lire en ligne)
• (de) J. Radon, « Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen », Sitz. Kais. Akad. Wiss. Wien, math.-Naturwiss. Kl. IIa, vol. 122,‎ 1913, p. 1295-1438