Théorème de Cayley

En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire^[1] établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :

Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de S_n.

Remarques

• Si G est d'ordre n, le groupe S_n dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
• Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.

Utilisations

• Ce théorème est utilisé en théorie des représentations de groupes. Soient G un groupe et ${\displaystyle (e_{g})_{g\in G}}$ une base d'un espace vectoriel E de dimension |G|. Le théorème de Cayley indique que G est isomorphe à un groupe de permutations des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme de E qui ici, par construction, est un automorphisme de E. Cela définit une représentation du groupe : sa représentation régulière.
• Il intervient aussi dans une démonstration du premier théorème de Sylow.

Historique

Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854^[2]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan^[3], qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870^[4],[5] : les permutations t_g sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, t_g est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.

Notes et références

1. Sa preuve est très courte : voir par exemple le paragraphe correspondant du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.
2. (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1 », Philos. Mag., vol. 7, n^o 4,‎ 1854, p. 40-47.
3. Par exemple dans (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, 2004 (1^re éd. 1911) (ISBN 978-0-486-49575-0, lire en ligne), p. 22.
4. Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars, 1870 (lire en ligne), p. 60-61.
5. Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de (en) Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », Amer. Math. Month., vol. 87, n^o 3,‎ 1980, p. 202-203 (JSTOR 2321608).

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