Théorème de Birkhoff (relativité)

En relativité générale, le théorème de Birkhoff affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un théorème d'unicité^[1],[2],[3] en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la solution de Schwarzschild^[4],[5],[6].

Énoncés

Unicité de la métrique de Schwarzschild — La métrique de Schwarzschild est l'unique solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein pour le vide et en l'absence de constante cosmologique^[7].

Tout espace-temps à symétrie sphérique satisfaisant à l'équation d'Einstein pour le vide doit avoir, en plus des trois champs de vecteur de Killing liés à la symétrie sphérique, un champ de vecteur de Killing supplémentaire^[8].

.

Une solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein pour le vide est nécessairement statique^[9],[10] dans une région extérieure^[9] au rayon de Schwarzschild^[11].

Une région extérieure au rayon de Schwarzschild est celle où la coordonnée t est de genre temps et les coordonnées r, θ et φ sont de genre espace^[10].

Histoire

La métrique de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide^[12]. Elle est à symétrie sphérique et dépend d'un paramètre M correspondant à la masse^[12]. Elle peut s'exprimer dans un système de coordonnées d'espace-temps avec r tel que l'aire des sphères — qui sont les orbites du groupe des rotations — soit 4πr^2[12]. Dans ce système de coordonnées et pour M > 0, la métrique présente une singularité à r = 2GM / c^2[12]. Dans la région r > 2GM / c², la métrique est statique et représente le champ gravitationnel en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à r₀ > 2GM / c^2[12]. Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique^[12].

L'éponyme du théorème de Birkhoff est le mathématicien américain George D. Birkhoff (1884-1944) qui l'a établi en 1923^{[13],[14],[15]}.

À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer^[16] et de Hubert Goenner^[17], et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt^[18] puis Stanley Deser et Joel Franklin^[19], il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, Jørg Tofte Jebsen (en)^[20]. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques^[21]. D'après Deser et Franklin^[19], le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès 1923^[22] et par J. Eisland deux ans plus tard^[23].

Justification intuitive

L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine : s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate. Ainsi, cette part du théorème correspond à ce que l'on attend du fait que la gravitation newtonienne est un cas limite de la relativité générale.

Conséquences

Le théorème montre qu'il est inutile de supposer que l'espace-temps est statique pour obtenir la métrique de Schwarzschild^[24] : supposer que l'espace-temps est à symétrie sphérique est nécessaire mais suffisant^[24].

La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une étoile sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild : le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire.

À l'extérieur d'un système qui n'est pas statique mais dont l'évolution temporelle préserve la symétrique sphérique, l'espace-temps est celui dont la géométrie est décrite par la métrique de Schwarzschild^[25].

Un système à symétrie sphérique n'émet pas d'ondes gravitationnelles^[25].

À l'intérieur d'une couronne sphérique de poussière, l'espace-temps est plat^[25].

Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la métrique de Minkowski. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.

En vertu du théorème de de Birkhoff, une étoile statique doit avoir un rayon supérieur au rayon de Schwarzschild^[26] :

${\displaystyle R>{\frac {2GM}{c^{2}}}=R_{\mathrm {S} }}$,

où :

• ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle M}$ son respectivement le rayon et la masse de l'étoile ;
• ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle G}$ sont respectivement la vitesse de la lumière dans le vide et la constante de la gravitation ;
• ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ est le rayon de Schwarzschild.

Généralisations

Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationnaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un trou noir de Reissner-Nordström.

Il n'existe pas de généralisation du théorème de Birkhoff pour le cas d'un espace-temps à symétrie axiale^[27], notamment pour l'effondrement gravitationnel d'un corps en rotation^[28]. En particulier, la métrique de Kerr n'est pas la métrique extérieure au corps en rotation pendant son effondrement gravitationnel^[28].

Notes et références

1. Bachelot 1993, p. 2.
2. Bachelot 1996, p. 3.
3. Vasset 2009, p. 64.
4. Dul 2016, p. 7.
5. Reall 2017, p. 11.
6. Zegers 2005, p. 1.
7. Earman 2015, chap. 1^er, sec. 1.2, p. 5.
8. Ong 2015, chap. 1^er, sec. 1.1, p. 7, n. 12.
9. Ellis 2015, sec. 2, introduction, p. 598, col. 2.
10. Capozziello et Faraoni 2010, chap. 4, sec. 4.3, § 4.3.3, p. 143.
11. Ellis 2015, sec. 2, introduction, p. 598, col. 1.
12. (en) Demetrios Christodoulou, The formation of black holes in general relativity [« La formation des trous noirs en relativité générale »], Zürich, EMS, coll. « EMS monographs in mathematics », 1^re éd., IX-589 p., 16,5 × 23,5 cm (ISBN 978-3-03-719068-5, EAN 9783037190685, OCLC 495196402, BNF 42200945, DOI 10.4171/068, Bibcode 2009fbhg.book.....C, arXiv 0805.3880, SUDOC 13544893X, présentation en ligne, lire en ligne), p. 1.
13. Birkhoff 1923.
14. Spagnou 2017, 4^e partie, chap. 3, § 4.
15. Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Birkhoff (théorème de), p. 79, col. 2.
16. Schmutzer 1968.
17. Goenner 1970.
18. Schmidt 1997.
19. Deser et Franklin 2005, n. 5.
20. (en) Nils Voje Johansen et Finn Ravndal, « On the discovery of Birkhoff's theorem », General Relativity and Gravitation, vol. 38, n^o 3,‎ 3 mars 2006, p. 537-540 (DOI 10.1007/s10714-006-0242-0, arXiv physics/0508163v2).
21. (en) Anne Marie Nzioki, Rituparno Goswami et Peter K. S. Dunsby, « Jebsen-Birkhoff theorem and its stability in f(R) gravity », Physical Review D, vol. 89,‎ 20 mars 2014, p. 064050 (DOI 10.1103/PhysRevD.89.064050).
22. Alexandrow 1923.
23. Eiesland 1925.
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27. (en) Christian Heinicke et Friedrich W. Hehl, « Schwarzschild and Kerr solutions of Einstein's field equation : an introduction » [« Les solutions de Schwarzschild et de Kerr de l'équation du champ d'Einstein : une introduction »], Int. J. Mod. Phys. D, vol. 24, n^o 2,‎ 2015, p. 1530006 (OCLC 5823012032, DOI 10.1142/S0218271815300062, Bibcode 2015IJMPD..2430006H, arXiv 1503.02172, résumé) — réimpr. dans :
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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Birkhoff's theorem (relativity) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

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Publications du théorème

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Découverte du théorème

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Exemples de démonstration du théorème

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Dictionnaires

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Communications et exposés

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• [Bachelot 1996] Alain Bachelot, « Diffusion classique et quantique par un trou noir en formation », dans Centre de mathématiques Laurent-Schwartz, Équations aux dérivées partielles : séminaire 1995-1996, Palaiseau, École polytechnique, 1996, 1^re éd., 30 cm (ISBN 2-7302-0366-8 (édité erroné), OCLC 36684122, BNF 35843538, SUDOC 029139945), exposé n^o XV du 26 mai 1996, 18 p. (lire en ligne [PDF]).
• [Clément 2013] Gérard Clément, chap. 1^er « Relativité générale : solutions exactes stationnaires », dans Abdelhafid Bounames et Abdenacer Makhlouf (éd.) (préf. de Michel Dubois-Violette), Gravitation : théorie et expérience (actes de la 3^e École de physique théorique, tenue à l'université de Jijel du 26 septembre au 3 octobre 2009), Paris, Hermann, coll. « Travaux en cours / physique-mathématiques » (n^o 79), novembre 2013, 1^re éd., XI-448 p., 17 × 24 cm (ISBN 2-7056-8049-7 et 978-2-7056-8049-7, EAN 9782705680497, OCLC 870526477, SUDOC 176320997, présentation en ligne), p. 52 p. (Bibcode : 2011arXiv1109.0902C, arXiv:1109.0902, lire en ligne).
• [Le Bellac 2012] Michel Le Bellac, chap. 5 « Relativité générale », dans Freddy Bouchet, Basile Audoly et Jacques-Alexandre Sepulchre (éd.), Peyresq lectures on nonlinear phenomena, vol. 3, Singapour, World Scientific, novembre 2012, 1^re éd., IX-375 p., 15,8 × 23 cm (ISBN 978-981-4440-58-5, EAN 9789814440585, OCLC 874994970, SUDOC 177232897, présentation en ligne, lire en ligne), p. 155-239 (DOI 10.1142/9789814440592_0005, résumé).
• [Pugliese et Quevedo 2024] (en) Daniela Pugliese et Hernando Quevedo, « Naked singularities and black hole Killing horizons », dans Daniele Malafarina et Pankaj S. Joshi (éd.), New frontiers in gravitational collapse and spacetime singularities, Singapour, Springer, coll. « Springer series in astrophysics and cosmology », mai 2024, 1^re éd., X-373 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-981-97-1171-0 et 978-981-97-1174-1, EAN 9789819711710, OCLC 1419249529, DOI 10.1007/978-981-97-1172-7, S2CID 269536915, SUDOC 278966225, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 12, p. 337-373.

Cours

• [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (notes de cours, 2^e année du master recherche Astronomie et Astrophysique de l'Observatoire de Paris, des universités Paris-VI – Pierre-et-Marie-Curie, Paris-VII – Paris Diderot et Paris-XI – Paris-Sud, et de l'École normale supérieure, année universitaire 2013-2014), Paris, Observatoire de Paris, mars 2014, 341 p., 30 cm (lire en ligne), § 3.2.4 « Théorème de Birkhoff ».
• [Reall 2017] (en) Harvey S. Reall, Black holes (notes de cours), Cambridge, Université de Cambridge, janvier 2017, VIII-148 p., 30 cm (lire en ligne [PDF]), § 2.1 « Birkhoff's theorem », p. 11-12.

Thèses

• [Dul 2016] (en) Filip Dul, « The geometry of spacetime and its singular nature », Honors Scholar Theses, n^o 497,‎ 2016, p. 32 p., § 2.2 « Birkhoff's theorem », p. 7-10 (résumé, lire en ligne, consulté le 17 janvier 2018).
• [Vasset 2009] Nicolas Vasset et Jérôme Novak (dir.), Quelques aspects des horizons de trous noirs en relativité numérique (thèse de doctorat en astronomie), Paris, Université Paris-VII – Paris-Diderot, Laboratoire Univers et Théories, 30 juin 2009, 171 p., 30 cm (OCLC 690346916, SUDOC 137115849, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).

Articles connexes

• Théorème de Birkhoff (électromagnétisme)
• Théorème d'unicité

Liens externes

• (en) Birkhoff's theorem (théorème de Birkhoff) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
• (en) « Birkhoff's Theorem », sur ScienceWorld (consulté le 18 août 2014)