Théorème de Bernstein (polynômes)

Le théorème de Bernstein est une inégalité reliant le maximum du module d'une fonction polynomiale complexe sur le disque unitaire avec le maximum du module de sa dérivée sur le disque unitaire. Ce résultat a été prouvé par Sergueï Bernstein alors qu'il travaillait sur la théorie de l'approximation^[1].

Énoncé^[2]

On note ${\displaystyle \max _{|z|=1}|f(z)|}$ le module maximum d'une fonction arbitraire ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \{|z|=1\}}$ et on désigne par ${\displaystyle f'}$ sa dérivée. Alors pour chaque polynôme ${\displaystyle P}$ à coefficients complexes de degré ${\displaystyle n}$, on a :

$${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq n\max _{|z|=1}|P(z)|.}$$

L'inégalité est la meilleure possible, puisqu'il y a égalité si et seulement si :

$${\displaystyle P(z)=\alpha z^{n},\ |\alpha |=\max _{|z|=1}|P(z)|.}$$

Preuve

Soit ${\displaystyle P}$ un polynôme de degré ${\displaystyle n}$ et soit ${\displaystyle Q}$ un autre polynôme du même degré sans zéros dans ${\displaystyle \{|z|\geqslant 1\}}$ . Nous montrons d'abord que si ${\displaystyle |P(z)|<|Q(z)|}$ sur ${\displaystyle \{|z|=1\}}$, alors ${\displaystyle |P'(z)|<|Q'(z)|}$ sur ${\displaystyle \{|z|\geqslant 1\}}$ .

Par le théorème de Rouché, le polynôme ${\displaystyle P(z)+aQ(z)}$ avec ${\displaystyle |a|\geq 1}$ a tous ses zéros dans le disque unité. En vertu du théorème de Gauss-Lucas, ${\displaystyle P'(z)+aQ'(z)}$ a tous ses zéros dans ${\displaystyle \{|z|<1\}}$. Il s'ensuit que ${\displaystyle |P'(z)|<|Q'(z)|}$ sur ${\displaystyle \{|z|\geqslant 1\}}$, sinon on pourrait choisir un ${\displaystyle a}$ avec ${\displaystyle |a|\geq 1}$ tel que ${\displaystyle P'(z)+aQ'(z)}$ ait un zéro dans ${\displaystyle \{|z|\geqslant 1\}}$ .

Pour un polynôme arbitraire ${\displaystyle P}$ de degré ${\displaystyle n}$, nous obtenons alors le théorème de Bernstein en appliquant le résultat ci-dessus au polynôme ${\displaystyle Q(z)=Cz^{n}}$, où ${\displaystyle C}$ est une constante arbitraire dépassant ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P(z)|}$.

L'inégalité de Bernstein

En analyse mathématique, l'inégalité de Bernstein énonce que sur le plan complexe, dans le disque de rayon 1, le degré d'un polynôme multiplié par la valeur maximale d'un polynôme est une majoration de ce même maximum pour sa dérivée. Prenant la "k- ème dérivée" du théorème, on obtient

${\displaystyle \max _{|z|\leq 1}(|P^{(k)}(z)|)\leq {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot \max _{|z|\leq 1}(|P(z)|).}$

Résultats similaires

Paul Erdős a conjecturé que si ${\displaystyle P(z)}$ n'a pas de zéros dans ${\displaystyle \{|z|<1\}}$, alors ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq {\frac {n}{2}}\max _{|z|=1}|P(z)|}$ . Cela a été prouvé par Peter Lax^[3].

M. A. Malik a montré que si ${\displaystyle P(z)}$ n'a pas de zéros dans ${\displaystyle \{|z|<k\}}$ pour un ${\displaystyle k\geq 1}$ donné, alors ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq {\frac {n}{1+k}}\max _{|z|=1}|P(z)|}$^[4] .

Références

1. R. P. Boas, Jr., Inequalities for the derivatives of polynomials, Math. Mag. 42 (1969), 165–174.
2. M. A. Malik et M. C. Vong, « Inequalities concerning the derivative of polynomials », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Circolo Matematico di Palermo, vol. 34, n^o 3,‎ octobre 1985, p. 422–426 (ISSN 0009-725X et 1973-4409, DOI 10.1007/bf02844535, lire en ligne, consulté le 4 février 2020)
3. P. D. Lax, Proof of a conjecture of P. Erdös on the derivative of a polynomial, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 509–513.
4. M. A. Malik, On the derivative of a polynomial J. London Math. Soc (2) 1 (1969), 57–60.

Bibliographie

• Clément Frappier, « Note on Bernstein's inequality for the third derivative of a polynomial », J. Inequal. Pure Appl. Math., vol. 5, n^o 1,‎ 2004, Paper No. 7 (ISSN 1443-5756, zbMATH 1060.30003, lire en ligne).
• I.P. Natanson (trad. Alexis N. Obolensky), Constructive function theory. Volume I : Uniform approximation, New York, Frederick Ungar, 1964 (MR 0196340, zbMATH 0133.31101).
• (en) Q. I. Rahman et G. Schmeisser, Analytic theory of polynomials, vol. 26, Oxford, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series », 2002, 742 p. (ISBN 0-19-853493-0, zbMATH 1072.30006).