En géométrie, un tétraèdre équifacial, ou disphénoïde (du grec sphenoeides, « en forme de coin »), est un tétraèdre (non plan) dont les quatre faces sont des triangles isométriques. Une condition équivalente est que les arêtes opposées soient de même longueur.
Il a été signalé dans les Annales de Gergonne dès 1810, puis beaucoup étudié par les géomètres des XIXe et XXe siècles[1].
Le tétraèdre régulier est équifacial mais un tétraèdre équifacial peut avoir des arêtes de trois longueurs différentes.
Le tétraèdre équifacial est invariant par les trois demi-tours d'axes les bimédianes (joignant les milieux de deux arêtes opposées), qui sont aussi les bihauteurs (perpendiculaires communes à deux arêtes opposées) , et concourent en un point O. Ce point est donc à la fois centre de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite, et centre de gravité des quatre sommets du tétraèdre[1].
Tous ses angles solides et les figures de sommet sont identiques, et la somme des mesures en degrés des angles des faces arrivant à chaque sommet est égale à 180°.
Les longueurs des six arêtes d'un tétraèdre équifacial A B C D {\displaystyle ABCD} ont trois valeurs a = B C = A D , b = A C = B D , c = A B = C D {\displaystyle a=BC=AD,b=AC=BD,c=AB=CD} , et les angles des faces, trois valeurs α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } , angles en A , B , C {\displaystyle A,B,C} de la face A B C {\displaystyle ABC} .
D'après l'inégalité triangulaire sur les angles arrivant à un même sommet, α < β + γ = π − α {\displaystyle \alpha <\beta +\gamma =\pi -\alpha } , donc α < π / 2 {\displaystyle \alpha <\pi /2} : les angles des faces sont strictement aigus [2],[3].
Son parallélépipède circonscrit A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ {\displaystyle ABCDA'B'C'D'} (dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées - voir ci-contre) est rectangle.
Le carré de la longueur du côté [ A B ′ ] {\displaystyle [AB']} de ce parallélépipède, longueur qui est aussi celle de la bimédiane joignant [ A B ] {\displaystyle [AB]} à [ C D ] {\displaystyle [CD]} dans le tétraèdre, est 1 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) = a b cos γ > 0 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=ab\cos \gamma >0} ; on obtient les autres par permutations [4]. Ceci confirme que les angles sont aigus.
L'un des deux patrons du tétraèdre équifacial est un triangle aigu d'angles α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } et de longueurs de côtés 2 a , 2 b , 2 c {\displaystyle 2a,2b,2c} , divisé en quatre triangles semblables par des segments reliant les milieux des côtés.
Un tétraèdre (non plan) est équifacial si et seulement si [5],[6]:
Un tétraèdre dont les bihauteurs sont concourantes est équifacial, orthocentrique ou formé d'un losange gauche et de ses diagonales [7],[8],[9].
Les tétraèdres équifaciaux sont les seuls polyèdres ayant une infinité de géodésiques fermées non auto-sécantes, et toutes les géodésiques fermées sont non auto-sécantes [10].
La sphère circonscrite a pour rayon[11]:
La sphère inscrite a pour rayon[11]:
r 2 = R 2 − R ′ 2 {\displaystyle r^{2}=R^{2}-R'^{2}} avec R ′ = a b c 4 S {\displaystyle R'={\frac {abc}{4S}}}
où R ′ {\displaystyle R'} est le rayon des cercles circonscrits aux faces et S = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} l'aire de n'importe quelle face, donnée par la formule de Héron.
La longueur commune des quatre hauteurs est égale à 4 r {\displaystyle 4r} [11].
Le volume d'un tétraèdre équifacial d'arêtes opposées de longueurs a, b, c est donné par [11]
On en déduit la relation intéressante suivante reliant le volume et le rayon de la sphère circonscrite :
Paul COUDERC, Augustin BALLICCIONI, Premier livre du tétraèdre à l'usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l'agrégation., Paris, Gauthier-Villars, 1935, p. 137-175