Sur quelques points d'algèbre homologique

Sur quelques points d'algèbre homologique

Format	Article scientifique (en)
Langue	Français
Auteur	Alexandre Grothendieck
Sujet	Algèbre homologique (en)
Date de parution	1957
Publié dans	Tohoku Mathematical Journal

modifier - modifier le code - modifier Wikidata

Sur quelques points d'algèbre homologique est un article d'Alexandre Grothendieck^[1], souvent désigné dans le monde anglophone sous le nom the Tôhoku paper, publié en 1957 dans le Tôhoku Mathematical Journal . Il a révolutionné le sujet de l'algèbre homologique, un aspect purement algébrique de la topologie algébrique^[2]. Cela a supprimé la nécessité de distinguer les cas de modules sur un anneau et de faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique^[3].

Contexte autour de l'article

Le contenu de l'article date de l'année 1955 lorsque Grothendieck était à l'université du Kansas. Ses recherches lui ont permis d'axiomatiser l'algèbre homologique en introduisant le concept de catégorie abélienne^[4],[5].

Un manuel d'algèbre homologique, le Cartan-Eilenberg d'après les auteurs Henri Cartan et Samuel Eilenberg, parut en 1956. L'œuvre de Grothendieck en était largement indépendante. Son concept de catégorie abélienne fut partiellement anticipé par d'autres^[6].

David Buchsbaum dans sa thèse de doctorat supervisée par Eilenberg avait introduit une notion de « catégorie exacte » qui était proche de celle de catégorie abélienne (n'ayant besoin que de sommes directes pour être identiques) ; et avait formulé l'idée de morphismes « suffisamment d'injectifs »^[7].

L'article de Tôhoku contient un argument pour prouver qu'une catégorie de Grothendieck (un type particulier de catégorie abélienne, le nom venant plus tard) a suffisamment de morphismes injectifs ; l'auteur ayant indiqué que la preuve était de type standard^[8]. En montrant par ce moyen que les catégories de faisceaux de groupes abéliens admettaient des résolutions injectives, Grothendieck est allé au-delà de la théorie disponible chez Cartan-Eilenberg, pour prouver l'existence d'une théorie de cohomologie en toute généralité^[9].

Développements ultérieurs

Après le théorème de Gabriel-Popescu de 1964, on savait que toute catégorie de Grothendieck est une catégorie quotient d'une catégorie de module^[10].

Cet article permit également introduire la suite spectrale de Grothendieck associée à la composition des foncteurs dérivés^[11].

En reconsidérant plus avant les fondements de l'algèbre homologique, Grothendieck a introduit et développé avec Jean-Louis Verdier le concept de catégorie dérivée^[12]. La motivation initiale, telle qu'annoncée par Grothendieck au Congrès international des mathématiciens de 1958, était de formuler des résultats sur la dualité cohérente, désormais sous le nom de « dualité de Grothendieck »^[13].

Références

1. [1]
2. Sooyoung Chang, Academic Genealogy of Mathematicians, World Scientific, 2011 (ISBN 978-981-4282-29-1, lire en ligne), p. 115
3. Jean-Paul Pier, Development of Mathematics 1950-2000, Springer Science & Business Media, 1^er janvier 2000 (ISBN 978-3-7643-6280-5, lire en ligne), p. 715
4. Pierre Cartier, Luc Illusie, Nicholas M. Katz, Gérard Laumon et Yuri I. Manin, The Grothendieck Festschrift, Volume I: A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck, Springer Science & Business Media, 22 décembre 2006 (ISBN 978-0-8176-4566-3, lire en ligne), vii
5. Piotr Pragacz, Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties: Impanga Lecture Notes, Springer Science & Business Media, 6 avril 2005 (ISBN 978-3-7643-7214-9, lire en ligne), xiv–xv
6. « Tohoku in nLab » (consulté le 2 décembre 2014)
7. I.M. James, History of Topology, Elsevier, 24 août 1999 (ISBN 978-0-08-053407-7, lire en ligne), p. 815
8. Amnon Neeman, Triangulated Categories, Princeton University Press, janvier 2001 (ISBN 0-691-08686-9, lire en ligne), p. 19
9. Giandomenico Sica, What is Category Theory?, Polimetrica s.a.s., 1^er janvier 2006, 236–7 p. (ISBN 978-88-7699-031-1, lire en ligne)
10. « Grothendieck category - Encyclopedia of Mathematics » (consulté le 2 décembre 2014)
11. Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 27 octobre 1995 (ISBN 978-0-521-55987-4, lire en ligne), p. 150
12. Ravi Vakil, Snowbird Lectures in Algebraic Geometry: Proceedings of an AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference on Algebraic Geometry : Presentations by Young Researchers, July 4-8, 2004, American Mathematical Soc., 2005, 44–5 p. (ISBN 978-0-8218-5720-5, lire en ligne)
13. Amnon Neeman, "Derived Categories and Grothendieck Duality", at p. 7