Produit direct

La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, on peut appeler produit direct un produit qui commute avec le foncteur d'oubli^{[réf. souhaitée]}. C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas

Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne ${\displaystyle *_{E}}$ et F un ensemble muni d'une loi de composition interne ${\displaystyle *_{F}}$. On peut définir une loi de composition interne ${\displaystyle *}$ sur le produit cartésien E×F de la façon suivante :

${\displaystyle (x,y)*(x',y')=(x*_{E}x',y*_{F}y').}$

Propriétés

• Si ${\displaystyle *_{E}}$ et ${\displaystyle *_{F}}$ sont associatives, alors la loi ${\displaystyle *}$ est associative.
• Si ${\displaystyle *_{E}}$ et ${\displaystyle *_{F}}$ sont commutatives, alors la loi ${\displaystyle *}$ est commutative.
• Si ${\displaystyle *_{E}}$ admet un élément neutre e et si ${\displaystyle *_{F}}$ admet un élément neutre f, alors ${\displaystyle (e,f)}$ est neutre pour ${\displaystyle *}$.
  • Si de plus x admet un symétrique x' pour ${\displaystyle *_{E}}$ et si y admet un symétrique y' pour ${\displaystyle *_{F}}$, alors (x, y) admet (x', y') comme symétrique.

Produit direct de magmas

Soit (E_i)_i∈I une famille d'ensembles, chaque E_i étant muni d'une loi de composition interne ${\displaystyle \star _{i}}$. On peut définir une loi de composition interne ${\displaystyle *}$ sur le produit cartésien ∏_i∈I E_i de la façon suivante :

${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}*(x'_{i})_{i\in I}=(x_{i}\star _{i}x'_{i})_{i\in I}}$

Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.

Propriétés

• Si chaque loi ${\displaystyle \star _{i}}$ est associative, la loi ${\displaystyle *}$ est associative.
• Si chaque loi ${\displaystyle \star _{i}}$ est commutative, la loi ${\displaystyle *}$ est commutative.
• Si chaque loi ${\displaystyle \star _{i}}$ possède un élément neutre e_i (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (e_i)_i∈I est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour ${\displaystyle *}$.
• Si chaque loi ${\displaystyle \star _{i}}$ possède un élément neutre et si dans chaque E_i, un élément quelconque x_i possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) y_i, alors la famille (x_i)_i∈I admet la famille (y_i)_i∈I comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe.

Produit direct d'anneaux

Soit (E_i)_i∈I une famille d'ensembles, chaque E_i étant muni de deux lois ${\displaystyle +_{i}}$ et ${\displaystyle *_{i}}$. On peut comme précédemment définir une loi ${\displaystyle +}$, produit direct des ${\displaystyle +_{i}}$ et une loi ${\displaystyle *}$, produit direct des lois ${\displaystyle *_{i}}$.

Si chaque loi ${\displaystyle *_{i}}$ est distributive par rapport à la loi ${\displaystyle +_{i}}$, alors la loi ${\displaystyle *}$ est distributive par rapport à la loi ${\displaystyle +}$.

En particulier, si chaque E_i est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Produit direct d'espaces vectoriels

Soit une famille (E_i)_i∈I d'espaces vectoriels sur un même corps K. Les lois suivantes font du produit cartésien ∏_i∈I E_i un K-espace vectoriel, appelé produit de la famille (E_i)_i∈I^[1] :

${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}+(v_{i})_{i\in I}=(u_{i}+v_{i})_{i\in I},\quad \lambda (u_{i})_{i\in I}=(\lambda u_{i})_{i\in I}.}$

Le vecteur nul est la famille (0)_i∈I formée par les vecteurs nuls des espaces E_i.

Lorsque tous les E_i sont égaux à un même K-espace vectoriel E (par exemple à K, vu comme K-droite vectorielle), ∏_i∈I E_i est l'espace vectoriel E^I des applications de I dans E^[2].

Notes et références

1. N. Bourbaki, Algèbre, chap. II, section 5 pour les produits infinis et p. A-II-10 pour les produits directs de modules.
2. Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966, Exemple 4, p. 166-167.

Article connexe

Somme directe