Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif
, le vecteur nul est l'unique vecteur représentant l'élément neutre pour l'addition vectorielle. Son existence est donnée par la définition de la structure d'espace vectoriel. Il peut être noté
ou
ou encore
, ou tout simplement 0.
Comme tout élément neutre, le vecteur nul est unique. La preuve est élémentaire : si
et
sont deux vecteurs nuls d'un même espace vectoriel E, alors
par nullité de
et
par nullité de
, donc
.
Propriétés et remarques
- Il est le résultat de la multiplication par le scalaire
de n'importe quel vecteur de E et de la multiplication par n'importe quel scalaire par lui-même. Plus précisément, pour un scalaire
et un vecteur v,
![{\displaystyle \lambda v=0_{E}\iff (\lambda =0_{K}\ {\text{ou}}\ v=0_{E}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f41ffc076a15be03430970da7c6b94a5af8e94a)
- Pour tous espaces vectoriels E et F, et toute application linéaire
, le vecteur nul de E est envoyé par f sur le vecteur nul de F :
.
- L'image réciproque du sous-espace vectoriel de E réduit au vecteur nul par une application linéaire
est un sous-espace vectoriel de E : il est appelé noyau de l'application linéaire f.
- L'espace vectoriel réduit au vecteur nul est l'unique espace vectoriel qui ne possède qu'un seul élément, le vecteur nul. Il est appelé l'espace nul.
Exemples
- Lorsque K est un corps commutatif, dans l'espace vectoriel
, le vecteur nul est l'élément neutre additif de
, c'est-à-dire
.
- Dans le K-espace vectoriel Kn, le vecteur nul est le n-uplet
où
est l'élément neutre pour l'addition du corps K.
- Si E est un sous-espace vectoriel de F, le vecteur nul de E est le vecteur nul de F.
- Pour tout ensemble X, le vecteur nul de l'espace
des fonctions réelles sur X est la fonction nulle, qui à tout point de X associe 0.
- En vertu des deux points précédents, dans l'espace vectoriel
des fonctions continues de
dans
, le vecteur nul est la fonction nulle.
- Dans l'espace vectoriel
des polynômes à coefficients dans un corps commutatif
, le vecteur nul est le polynôme nul.
- Lorsque les vecteurs sont définis à partir de bipoints équipollents, le vecteur nul est représenté par la classe des couples (A,A) formés d'un seul point A.
- L'unique K-espace vectoriel à ne contenir que le vecteur nul est par définition l'espace nul. Pour tout espace vectoriel E, il existe une unique injection de l'espace nul
vers E, qui envoie 0 sur
. La dimension de l'espace nul est 0.