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Paolo Ruffini, né à Valentano le 22 septembre 1765 et mort à Modène le 10 mai 1822, est un médecin et mathématicien italien. Son nom est lié à la démonstration partielle de l'irrésolubilité algébrique des équations de degré strictement supérieur à quatre, à la théorie des groupes, le théorème d'Abel et à la règle de Ruffini de décomposition des polynômes.
Paolo Ruffini est né le 22 septembre 1765 à Valentano, au nord de la province de Viterbe, dans le Latium.
Le 9 juin 1788, il passe des licences de philosophie, de médecine et de chirurgie, et juste après une de mathématiques. Il devient professeur de mathématiques à l'université de Modène. En matière religieuse et politique Ruffini était un conservateur et catholique très fervent et pointilleux.[1] À l’arrivée des Français en Italie, il refusa de siéger au conseil des Juniori du Corps législatif, se déclarant incapable de remplir des fonctions qu’il prétendait n’avoir aucun rapport avec le genre de ses études, mais que, dans le fait, il trouvait incompatibles avec ses principes. Il se montra de même peu disposé à prêter le serment civique, qu’on exigeait alors de chaque citoyen ; et ce double refus entraîna la perte de ses places, qu’il ne reprit qu’en 1799, lors du retour des Autrichiens. Il les garda même après leur départ et jusqu’à l’année 1806, époque à laquelle il fut appelé à l'École d'artillerie et génie de l'Académie militaire de Modène en qualité de professeur de mathématiques appliquées.
Ruffini était membre de l'Académie nationale des sciences et de plusieurs Societés Scientifiques italiennes et étrangères. Il mourut à Modène le 10 mai 1822.
Ruffini est le premier à affirmer que l'équation générale et particulièrement l'équation quintique n'admet pas de solution. Il reprend la démarche de Lagrange qui montre que toutes les méthodes utilisées jusqu'ici reviennent à des cas particuliers d'une approche plus générale. Ruffini montre que la méthode de Lagrange ne peut fournir, pour l'équation de degré 5, de formule équivalente à celle de Cardan pour le degré 3. Il publie un livre sur cette question[2] en 1799.
La communauté scientifique de l'époque ne reconnaît pas son travail. Ruffini envoie son livre à Lagrange en 1801, mais n'obtient aucune réponse. Une présentation officielle à l'Académie des sciences n'obtient pas plus de succès. Les mathématiciens Lagrange, Legendre et Lacroix sont chargés d'évaluer la validité de sa preuve. Le rapport décrit son travail comme sans importance, sa démonstration comporte une lacune, rien n'indique qu'il n'existerait pas d'autres méthodes, différentes de celle de Lagrange et donc de toutes celles trouvées jusque-là, et qui permettrait une résolution par radical. Une nouvelle tentative, auprès de la Royal Society anglaise obtient une réponse plus sympathique : si un tel travail n'entre pas dans sa compétence, les résultats ne semblent néanmoins pas contenir d'erreur. Deux autres publications en 1803 et 1808 n'auront guère plus de succès. Pour les mathématiciens de l'époque, le résultat est soit faux, soit anecdotique. Seul Augustin Louis Cauchy comprend la profondeur de son travail. Il lui envoie une lettre en 1821 dans laquelle il indique à la fois la validité et l'importance de la question traitée. Cauchy généralise[3] le résultat sur les permutations à la base des travaux de Ruffini[4].