Nombre multicomplexe (Fleury)

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole ${\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$ (n ∈ ℕ^*) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension n sur ℝ. Ils ont été introduits par Norbert Fleury en 1993.

Définition

Soit un élément e^{[note 1]} tel que eⁿ = −1 et tel que (1,e,e²,…,eⁿ⁻¹) soit une famille libre : 𝓜ℂ_n est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette famille^{[note 2],[1],[2]}.

Propriétés algébriques

• Chaque algèbre 𝓜ℂ_n est un cas particulier d’algèbre de Clifford généralisée (en)^[3].
• Comme eⁿ+1 = 0, chaque algèbre 𝓜ℂ_n est canoniquement isomorphe à l’algèbre quotient (en) ℝ[X]/Xⁿ+1.
• Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire : ${\displaystyle \textstyle x=\rho \exp(\sum _{i=1}^{n-1}\phi _{i}e^{i})}$^[4].

Sommes directes et produits tensoriels

• Chaque algèbre 𝓜ℂ_n est isomorphe à une somme directe^{[note 3]} impliquant ℝ et ℂ^[5] :
  • si n est pair :

    ${\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n}{2}}{\text{ facteurs}}}=\bigoplus ^{\frac {n}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{\frac {n}{2}}\ ;}$

  • si n est impair :

    ${\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \mathbb {R} \oplus \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n-1}{2}}{\text{ facteurs}}}=\mathbb {R} \oplus \bigoplus ^{\frac {n-1}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{\frac {n-1}{2}}=\mathbb {R} \oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n-1}\ ;}$

  • ce que l’on peut écrire de manière compacte : 𝓜ℂ_n ≅ ℝ^{n mod 2} × ℂ^⌊n/2⌋.
• Il s’ensuit immédiatement que :
  • si m et n ne sont pas simultanément impairs, 𝓜ℂ_m ⊕ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_m+n ;
  • si m et n sont simultanément impairs, 𝓜ℂ_m ⊕ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_m+n−2 ⊕ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$^{[note 5]}.
• En utilisant les propriétés précédentes, la distributivité du produit tensoriel d'algèbres ⊗_ℝ par rapport à la somme directe ⊕ et l’isomorphisme^{[note 6]} 𝓜ℂ₄ ≅ ℂ ⊗_ℝ ℂ, on démontre alors aisément que 𝓜ℂ_m ⊗_ℝ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_mn.

Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre

• 𝓜ℂ_2ⁿ ≅ ℂ_n.

Sous-algèbres

• 𝓜ℂ_n−1 ⊂ 𝓜ℂ_n.
• ℝ^⌈n/2⌉ ⊂ 𝓜ℂ_n.
• D’où ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$^{⌊(n+1)/4⌋} ⊂ 𝓜ℂ_n.
• ℂ^⌊n/2⌋ ⊂ 𝓜ℂ_n.

Cas particulier : 𝓜ℂ₃

Au XIX^e siècle, après que l’idée de représenter les nombres complexes sous la forme géométrique d’un plan 2D a été avancée, les mathématiciens ont cherché à étendre la notion de complexe à l’espace 3D, mais sans succès. C’est finalement en abandonnant l’égalité du nombre de dimensions entre l’algèbre hypercomplexe cherchée et l’espace géométrique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont été découverts. Malgré le succès des quaternions, les recherches d’une algèbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriétés similaires aux opérations géométriques dans l’espace ont continué, plusieurs auteurs arrivant finalement et indépendamment à l’algèbre 𝓜ℂ₃^[6] ou l’un de ses isomorphes triviaux^{[7],[note 7]}.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 180, n^o 2,‎ décembre 1993, p. 431–457 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1993.1410, lire en ligne [PDF], consulté le 9 mars 2016)
• (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 191, n^o 1,‎ 1^er avril 1995, p. 118–136 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1995.1123, lire en ligne [PDF], consulté le 9 mars 2016)
• Michel Rausch de Traubenberg, Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries ℤ_n, Applications en Théorie des Champs (habilitation à diriger des recherches), Strasbourg, Université Louis Pasteur, 23 octobre 1997 (arXiv hep-th/9802141), chap. 1.2 (« Extension des nombres complexes »), p. 20–29
• (en) Silviu Olariu, Complex Numbers in Three Dimensions, 4 août 2000 (arXiv math/0008120)^{[note 8]}
• (en) Shlomo Jacobi, On a novel 3D hypercomplex number system, 7 septembre 2015 (arXiv 1509.01459)

Notes et références

Notes

1. À ne pas confondre avec la constante de Néper.
2. Cette famille libre constitue donc, par définition, une base de l’algèbre hypercomplexe générée.
3. Le nombre de facteurs étant fini, la somme directe ⊕ est équivalente au produit direct ×.
4. Le cas n impair donné dans ce document est erroné.
5. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$ désigne les nombres complexes déployés, lesquels sont isomorphes à ℝ ⊕ ℝ.
6. Non démontré ici.
7. Par simple changement de base (1,h,k) = (1,−e,e²).
8. L’auteur nomme « nombres tricomplexes » l’isomorphisme de 𝓜ℂ₃ qu’il étudie, mais ils ne doivent pas être confondus avec les « nombres tricomplexes » désignant historiquement ℂ₃.

Références

1. Fleury, Rausch de Traubenberg et Yamaleev 1993, p. 433
2. Fleury, Rausch de Traubenberg et Yamaleev 1995, p. 120
3. Rausch de Traubenberg 1997, p. 21
4. Fleury, Rausch de Traubenberg et Yamaleev 1993, p. 438–441
5. Rausch de Traubenberg 1997, p. 21^{[note 4]}
6. Jacobi 2015
7. Olariu 2000