Moyenne de Stolarsky

Moyenne de Stolarsky de 1 et x, pour x entre 1 et 5, pour différents ordres

En mathématiques, la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique. Elle a été introduite par Kenneth B. Stolarsky en 1975 ^[1].

Définition

Étant donné un nombre réel p différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre p de deux nombres réels strictement positifs a, b est définie par : $${\displaystyle S_{p}(a,b)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}\left({\frac {y^{p}-x^{p}}{p(y-x)}}\right)^{1/(p-1)}={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b\\\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{1/(p-1)}&{\text{sinon}}\end{cases}}}$$.

Obtention de cette moyenne

Étant donné une fonction ${\displaystyle f}$ dérivable sur un intervalle ${\displaystyle [a,b],a\neq b}$, de dérivée strictement monotone sur ${\displaystyle [a,b]}$, il existe, d'après le théorème des accroissements finis, un unique réel ${\displaystyle c}$ dans l'intervalle ${\displaystyle ]a,b[}$ tel que ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f'(x)\mathrm {d} x}$ (qui est la valeur moyenne de ${\displaystyle f'}$ sur ${\displaystyle [a,b]}$)

La moyenne de Stolarsky est précisément égale à

${\displaystyle c=f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)}$

lorsqu'on prend ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ .

Propriétés

${\displaystyle S_{p}(a,b)}$ est bien une moyenne, car comprise entre a et b. De plus on peut prolonger par continuité ${\displaystyle p\mapsto S_{p}(a,b)}$ à l'ensemble des réels, ce qui donne une fonction croissante.

Cas particuliers

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }S_{p}(a,b)}$ est le minimum de a et b.
• ${\displaystyle S_{-2}(a,b)={\sqrt[{3}]{\frac {2a^{2}b^{2}}{a+b}}}={\sqrt[{3}]{M_{h}(a,b)(M_{g}(a,b))^{2}}}}$ s'exprime à partir de la moyenne harmonique et de la moyenne géométrique de a et b.
• ${\displaystyle S_{-1}(a,b)={\sqrt {ab}}}$ est leur moyenne géométrique.
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}S_{p}(a,b)={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}$ est leur moyenne logarithmique. Elle est obtenue par la formule ${\displaystyle f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)}$ en prenant ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ .
• ${\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(a,b)=\left({\frac {{\sqrt {b}}+{\sqrt {a}}}{2}}\right)^{2}}$ est leur moyenne (de Hölder) d'ordre 1/2.
• ${\displaystyle \lim _{p\to 1}S_{p}(a,b)={\frac {1}{\rm {e}}}\left({\frac {b^{b}}{a^{a}}}\right)^{1/(b-a)}}$ est leur moyenne identrique. Elle est obtenue à partir de la formule ${\displaystyle f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)}$ en prenant ${\displaystyle f(x)=x\cdot \ln x}$ .
• ${\displaystyle S_{2}(a,b)}$ est leur moyenne arithmétique.
• ${\displaystyle S_{3}(a,b)={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+ab}{3}}}=M_{q}(a,b,M_{g}(a,b))}$ s'exprime à partir de la moyenne quadratique et de la moyenne géométrique de a et b.
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }S_{p}(a,b)}$ est le maximum de a et b.

Généralisations

Pour plusieurs variables

On peut généraliser cette moyenne à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé exprimé à l'aide des différences divisées. On obtient :

${\displaystyle S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}])}$ avec ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ .

Pour une fonction quelconque

La définition ${\displaystyle M_{f}(a,b)=f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)}$ pour ${\displaystyle a,b>0}$ est possible dès que la fonction ${\displaystyle f}$ est strictement convexe et dérivable sur ${\displaystyle ]0,+\infty [}$. On a vu ci-dessus les cas ${\displaystyle f(x)=x^{p},\ln x,x\ln x}$.

Pour ${\displaystyle f(x)={\rm {e}}^{x}}$, on a ${\displaystyle M_{f}(a,b)=\ln \left({\frac {{\rm {e}}^{b}-{\rm {e}}^{a}}{b-a}}\right)}$ dont on peut noter qu'elle n'est pas homogène ^[2].

D'autre part, on peut montrer que la moyenne harmonique ne peut être obtenue comme moyenne de type ${\displaystyle M_{f}}$ ^[2].

Moyennes bi-paramétriques

On peut définir des moyennes de Stolarsky pour deux paramètres p et q par^[3]:

${\displaystyle S_{p,q}(a,b)={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b>0\\S_{p}(a,b)&{\text{si }}q=0\\\left({\frac {q(b^{p}-a^{p})}{p(b^{q}-a^{q})}}\right)^{1/(p-q)}&{\text{si}}\ pq(p-q)\neq 0\\\exp \left(-{\frac {1}{p}}+{\frac {b^{p}\ln(b)-a^{p}\ln(a))}{b^{q}-a^{q}}}\right)&{\text{si}}\ p=q\neq 0\\G(a,b)&{\text{si}}\ p=q=0\end{cases}}}$.

Voir aussi

• Moyenne d'ordre p
• Moyenne de Lehmer

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stolarski mean » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Kenneth B. Stolarsky, « Generalizations of the logarithmic mean », Mathematics Magazine, vol. 48,‎ 1975, p. 87–92 (ISSN 0025-570X, DOI 10.2307/2689825, JSTOR 2689825, zbMATH 0302.26003)
2. J.B. Hiriart-Urruty, « Il y a encore du TAF », Losanges,‎ mars 2021, p. 41 (lire en ligne )
3. (en) Edward Neuman, « Stolarsky means of several variables », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 6, n^o 2,‎ 2005 (lire en ligne)