Moyenne identrique
Comparaisons entre les moyennes arithmétique (bleu), géométrique (vert), harmonique (violet) et identrique (rouge) de 1 et x, pour x entre 1 et 5. La moyenne identrique de deux nombres réels positifs x , y est définie comme [ 1]
I
(
x
,
y
)
=
1
e
⋅ ⋅ -->
lim
(
ξ ξ -->
,
η η -->
)
→ → -->
(
x
,
y
)
ξ ξ -->
ξ ξ -->
η η -->
η η -->
ξ ξ -->
− − -->
η η -->
=
lim
(
ξ ξ -->
,
η η -->
)
→ → -->
(
x
,
y
)
exp
-->
(
ξ ξ -->
⋅ ⋅ -->
ln
-->
ξ ξ -->
− − -->
η η -->
⋅ ⋅ -->
ln
-->
η η -->
ξ ξ -->
− − -->
η η -->
− − -->
1
)
=
{
x
si
x
=
y
1
e
x
x
y
y
x
− − -->
y
sinon.
{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&={\frac {1}{\mathrm {e} }}\cdot \lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\sqrt[{\xi -\eta }]{\frac {\xi ^{\xi }}{\eta ^{\eta }}}}\\[8pt]&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\exp \left({\frac {\xi \cdot \ln \xi -\eta \cdot \ln \eta }{\xi -\eta }}-1\right)\\[8pt]&={\begin{cases}x&{\text{si }}x=y\\[8pt]{\frac {1}{\mathrm {e} }}{\sqrt[{x-y}]{\frac {x^{x}}{y^{y}}}}&{\text{sinon.}}\end{cases}}\end{aligned}}}
Elle peut être dérivée du théorème des accroissements finis en considérant la sécante de la courbe de la fonction
x
↦ ↦ -->
x
⋅ ⋅ -->
ln
-->
x
{\displaystyle x\mapsto x\cdot \ln x}
moyenne de Stolarsky , et, en tant que telle, peut être généralisée à davantage de variables par le théorème des valeurs intermédiaires pour les différences divisées (en)
Motivation
On peut montrer simplement que la limite de la moyenne arithmétique des valeurs contenues dans un intervalle [a , b ] est l'espérance mathématique de la fonction identité sur [a , b ] : en effet, pour f continue sur un intervalle [a , b ] , on considère n + 1a = x 0 < ... < xn = b
lim
n
→ → -->
+
∞ ∞ -->
1
n
∑ ∑ -->
k
=
1
n
f
(
x
k
)
=
1
b
− − -->
a
∫ ∫ -->
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
En revanche, la limite de la moyenne géométrique des valeurs d'une fonction f continue positive sur un intervalle [a , b ] est moins évidente : en posant
ℓ ℓ -->
=
lim
n
→ → -->
+
∞ ∞ -->
∏ ∏ -->
k
=
1
n
f
(
x
k
)
n
{\displaystyle \ell =\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}f(x_{k})}}}
on a :
ln
-->
(
ℓ ℓ -->
)
=
lim
n
→ → -->
+
∞ ∞ -->
1
n
∑ ∑ -->
k
=
1
n
ln
-->
(
f
(
x
k
)
)
=
1
b
− − -->
a
∫ ∫ -->
a
b
ln
-->
(
f
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle \ln(\ell )=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(f(x_{k}))={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(f(x))\,\mathrm {d} x}
On en déduit :
lim
n
→ → -->
+
∞ ∞ -->
∏ ∏ -->
k
=
1
n
x
k
n
=
exp
-->
(
1
b
− − -->
a
∫ ∫ -->
a
b
ln
-->
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x\right)}
Or :
∫ ∫ -->
a
b
ln
-->
(
x
)
d
x
=
[
x
ln
-->
x
− − -->
x
]
a
b
=
b
ln
-->
(
b
)
− − -->
b
− − -->
a
ln
-->
(
a
)
+
a
=
ln
-->
(
b
b
a
a
e
− − -->
(
b
− − -->
a
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x=[x\ln x-x]_{a}^{b}=b\ln(b)-b-a\ln(a)+a=\ln \left({\frac {b^{b}}{a^{a}}}\mathrm {e} ^{-(b-a)}\right)}
On en déduit ainsi :
lim
n
→ → -->
+
∞ ∞ -->
∏ ∏ -->
k
=
1
n
x
k
n
=
I
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=I(a,b).}
Comparaison
Pour deux nombres positifs a et b , on a l'inégalité[ 2]
H
(
a
,
b
)
<
G
(
a
,
b
)
<
L
(
a
,
b
)
<
P
(
a
,
b
)
<
I
(
a
,
b
)
<
A
(
a
,
b
)
{\displaystyle H(a,b)<G(a,b)<L(a,b)<P(a,b)<I(a,b)<A(a,b)}
où :
De même, si Mp désigne la moyenne d'ordre p , alors[ 2]
M
2
/
3
(
a
,
b
)
<
I
(
a
,
b
)
<
M
ln
-->
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle M_{2/3}(a,b)<I(a,b)<M_{\ln 2}(a,b)}
Voir aussi
↑ Kendall C. Richards et Hilari C. Tiedeman, « A Note on weighted identric and logarithmic means », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics , vol. 7, no 5, 2006 (lire en ligne [archive du 21 septembre 2013 ] 20 septembre 2013 ) ↑ a et b (en) Miao-Kun Wang, Zi-Kui Wang et Yu-Ming Chu, « An optimal double inequality between geometric and identric means », Applied Mathematics Letters vol. 25, no 3, mars 2012 , p. 471-475 (DOI 10.1016/j.aml.2011.09.038
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&={\frac {1}{\mathrm {e} }}\cdot \lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\sqrt[{\xi -\eta }]{\frac {\xi ^{\xi }}{\eta ^{\eta }}}}\\[8pt]&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\exp \left({\frac {\xi \cdot \ln \xi -\eta \cdot \ln \eta }{\xi -\eta }}-1\right)\\[8pt]&={\begin{cases}x&{\text{si }}x=y\\[8pt]{\frac {1}{\mathrm {e} }}{\sqrt[{x-y}]{\frac {x^{x}}{y^{y}}}}&{\text{sinon.}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edb6339d21786e2376412bd41fe5bbb4c269fad)
![{\displaystyle \ell =\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}f(x_{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7af8f87c7e463b048a4c8d796843be8da842f2)
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423f07713220e8c908ebdedb5281693b2abdc9a2)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x=[x\ln x-x]_{a}^{b}=b\ln(b)-b-a\ln(a)+a=\ln \left({\frac {b^{b}}{a^{a}}}\mathrm {e} ^{-(b-a)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d4da80d40fe2f986814eaa2b61c6ddafa9befe)
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=I(a,b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e6ad85695962a7e98e5a7c6d9a8084cbe2abbf)
