Rasmussen est sélectionné en 1re ronde, 7e au total, par les Americans de Tri-City au repêchage de la LHOu 2014. À sa saison recrue dans le junior canadien, il obtient 18 buts et 25 passes en 63 matchs. En 2016-2017, il rate 22 parties en raison de blessures, mais il parvient tout de même à inscrire 32 buts et 55 points. Il domine d'ailleurs son équipe avec 15 buts en avantage numérique.
À l'aube du repêchage d'entrée dans la LNH 2017, il se classe au 5e rang des patineurs nord-américains selon la Centrale de recrutement de la LNH. Le , il est repêché au 1er tour, 9e au total, par les Red Wings de Détroit. Le , il signe son premier contrat professionnel de 3 ans avec les Red Wings.
Le 20 février 2024, il décide de poursuivre sa carrière à Détroit en acceptant une prolongation de contrat de quatre ans, d'une valeur annuelle de 3,2 millions $[1].