Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité[1].
Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes[2] :
Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.
Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A[3] (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse).
En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élémentaire correspondante sur les colonnes revient à multiplier A à droite par la transposée de M[3].
Le premier type d'opérations élémentaires (permutation de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres[4]. En effet,
( 0 1 1 0 ) = ( 1 0 − 1 1 ) ( − 1 0 0 1 ) ( 1 − 1 0 1 ) ( 1 0 1 1 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}.}