Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans ℂ est une forme sesquilinéaire à gauche si quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires :
f est semi-linéaire par rapport à la première variable
, et
f est linéaire par rapport à la deuxième variable
.
Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus :
ou, ce qui est équivalent :
Elle est dite hermitienne définie positive si pour tout vecteur .
Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.
Les deux exemples de base d'espaces munis de formes hermitiennes sont , avec
et pour un intervalle ,
avec
(On considère des fonctions à valeurs complexes : en théorie des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les exponentielles complexes () qu'avec les fonctions réelles sinus et cosinus, ce qui explique l'intervention de la notion de forme hermitienne dans la décomposition spectrale de Fourier.)
Les deux propriétés de base d'un produit scalaire réel subsistent :
Un opérateur u d'un espace hermitien E est dit hermitien si :
Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique, car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.
Dans une base orthonormale, notons A la matrice d'un endomorphisme u et notons :
L'empilement d'hypersphères le plus dense, en dimension n, donne des structures se rapprochant des n-simplexes (c'est-à-dire triangle, tétraèdre, etc. mais aussi hexagone ou cuboctaèdre). Ces n-simplexes peuvent être entre autres caractérisés par un n-hypervolume ou des nombres : ainsi, les nombres triangulaires sont de la forme a(a+1)/2, les nombres tétraédriques : a(a+1)(a+2)/6, etc. la limite du rapport "nombre" sur l'hypervolume, pour a tendant vers +∞, élevée à la puissance 2/n, donne les constantes d'Hermite. Cette définition n'est cependant pas rigoureuse.