Lemme de Hensel

En mathématiques, le lemme de Hensel, est un résultat permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Il doit son nom au mathématicien du début du XX^e siècle Kurt Hensel. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton.

La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont ℤ_p (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets.

Énoncés

On considère un polynôme P à coefficients dans ℤ_p (l'anneau des entiers p-adiques, avec p premier).

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe ${\displaystyle \alpha _{0}\in \mathbb {Z} _{p}}$ tel que ${\displaystyle P(\alpha _{0})\equiv 0{\pmod {p}}\quad {\rm {et}}\quad P'(\alpha _{0})\not \equiv 0{\pmod {p}},}$ alors, il existe ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{p}}$ tel que ${\displaystyle P(\alpha )=0\quad {\rm {et}}\quad \alpha \equiv \alpha _{0}{\pmod {p}}.}$

Plus généralement, si un anneau noethérien A est complet pour la topologie I-adique pour un certain idéal I et si P est un polynôme à coefficients dans A alors, tout élément α₀ de A tel que, modulo I, P(α₀) soit nul et P'(α₀) soit inversible, se relève de façon unique en une racine de P dans A^[1].

La condition ${\displaystyle P'(\alpha _{0})\not \equiv 0{\pmod {p}}}$ est essentielle. Ainsi, l'équation ${\displaystyle X^{5}=2}$ n'a pas de solution dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ (une telle solution ${\displaystyle a}$ devrait être congrue à 2 modulo 5 ; posant ${\displaystyle a=2+5x}$, on aurait donc ${\displaystyle 2=(2+5x)^{5}=32+5\times 16\times 5x+10\times 8\times (5x)^{2}+\dots }$, ce qui est absurde, puisque 30 n'est pas divisible par 25), alors qu'elle en a une dans ${\displaystyle \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$, puisque ${\displaystyle 2^{5}-2}$ est divisible par 5 ; cela s'explique car ${\displaystyle P'(X)}$ est identiquement nul dans ${\displaystyle \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$.

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe ${\displaystyle \alpha _{0}\in \mathbb {Z} _{p}}$ tel que, pour un certain entier N, on ait ${\displaystyle P'(\alpha _{0})\equiv 0{\pmod {p^{N}}},\quad P'(\alpha _{0})\not \equiv 0{\pmod {p^{N+1}}}\quad {\rm {et}}\quad P(\alpha _{0})\equiv 0{\pmod {p^{2N+1}}},}$ alors, il existe ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{p}}$ tel que ${\displaystyle P(\alpha )=0\quad {\rm {et}}\quad \alpha \equiv \alpha _{0}{\pmod {p^{N+1}}}.}$

Lemme de Hensel version 3.

Soient K un corps valué non archimédien complet, |∙| une valeur absolue sur K associée à sa valuation, O_K son anneau des entiers, f ∈ O_K[X] et x un élément de O_K tel que${\displaystyle c:=\left|{\frac {f(x)}{f'(x)^{2}}}\right|<1.}$Alors :

• la suite ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ définie par ${\displaystyle x_{0}:=x}$ et la formule de récurrence : ${\displaystyle x_{n+1}:=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$ est bien définie et vérifie${\displaystyle \vert f(x_{n})\vert \leqslant c^{2^{n}}\vert f'(x_{0})\vert ^{2}\quad {\rm {et}}\quad \vert x_{n+1}-x_{n}\vert \leqslant c^{2^{n}}\vert f'(x_{0})\vert ~;}$
• elle converge dans O_K vers une racine ξ de f et${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \vert \xi -x_{n}\vert \leqslant \left|{\frac {f(x)}{f'(x)}}\right|^{2^{n}}~;}$
• ξ est la seule racine de f dans la boule ouverte de O_K de centre x et de rayon |f(x)/f '(x)|.

Lemme de Hensel version 4.

Tout anneau local complet est hensélien, c'est-à-dire, A désignant cet anneau et k son corps résiduel, que si un polynôme unitaire f ∈ A[X] a pour image dans k[X] un produit de deux polynômes g et h premiers entre eux, alors g et h se relèvent en deux polynômes de A[X] de produit f.

Ce lemme « de Hensel » a été démontré par Theodor Schönemann en 1846.

Applications

Le lemme de Hensel est applicable à une grande variété de situations.

Famille d'idempotents orthogonaux

Soient A un anneau local noethérien, complet pour la topologie M-adique associée à son idéal maximal M, et B une A-algèbre commutative^[2], de type fini en tant que A-module. Alors, toute famille d'idempotents « orthogonaux^[3] » de B/MB se relève, de façon unique, en une famille d'idempotents orthogonaux de B^[1].

En effet, les idempotents sont les racines du polynôme P(X) := X² – X, et si P(e) est nul alors P ' (e) est son propre inverse. Or B est complet (en) pour la topologie MB-adique, ce qui permet, grâce au lemme de Hensel (version 1 ci-dessus) de relever chaque idempotent de B/MB en un idempotent de B. Enfin, si deux idempotents de B sont orthogonaux modulo MB, alors ils le sont dans l'absolu : leur produit x est nul car (par complétude) 1 – x est inversible, or x(1 – x) = 0.

Factorisation des polynômes à coefficients entiers

Les algorithmes de factorisation de polynômes à coefficients entiers en facteurs irréductibles utilisent d’abord une factorisation dans un corps fini ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ qu’il faut ensuite remonter dans l’anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} /_{p^{2^{k}}\mathbb {Z} }}$ pour un certain k de ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Cette remontée se fait grâce à un cas particulier du lemme de Hensel^[4], énoncé ci-dessous :

Soient p un nombre premier, et P un polynôme à coefficients entiers, unitaire, décomposé en un produit ${\displaystyle G_{0}H_{0}}$ de deux polynômes à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} /_{p\mathbb {Z} }}$.

On suppose ${\displaystyle G_{0}}$ et ${\displaystyle H_{0}}$ premiers entre eux, de coefficients de Bézout ${\displaystyle U_{0},V_{0}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Z} /_{p\mathbb {Z} }}$.

Alors pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, il existe un unique quadruplet de polynômes de ${\displaystyle \mathbb {Z} /_{p^{2^{k}}\mathbb {Z} },(G_{k},H_{k},U_{k},V_{k})}$ tels que :

- ${\displaystyle X_{k+1}=X_{k}[p^{2^{k}}]}$ pour ${\displaystyle X\in \lbrace G_{k},H_{k},U_{k},V_{k}\rbrace }$

- ${\displaystyle G_{k},H_{k}}$ sont premiers entre eux, unitaires,de coefficients de Bézout ${\displaystyle U_{k},V_{k}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Z} /_{p^{2^{k}}\mathbb {Z} }}$

- ${\displaystyle P=G_{k}H_{k}}$

Démonstration

Procédons par récurrence sur ${\displaystyle k}$.

L'initialisation est donnée par l'hypothèse.

Pour l'hérédité, on suppose l'existence de ${\displaystyle (G_{k},H_{k},U_{k},V_{k})}$ pour un certain rang ${\displaystyle k\geqslant 0}$. On cherche à construire ${\displaystyle (G_{k+1},H_{k+1})}$.

On a, par hypothèse, que ${\displaystyle P=G_{k}H_{k}~[p^{2^{k}}]}$ donc il existe ${\displaystyle R_{k}\in \mathbb {Z} /_{p^{2^{k}}\mathbb {Z} }[X]}$ tel que ${\displaystyle P-G_{k}H_{k}=p^{2^{k}}R_{k}~[p^{2^{k+1}}]}$.

On appelle alors ${\displaystyle h_{k}}$ et ${\displaystyle g_{k}}$ les restes respectifs de la division euclidienne de ${\displaystyle U_{k}R_{k}}$ par ${\displaystyle H_{k}}$ et de ${\displaystyle V_{k}R_{k}}$ par ${\displaystyle G_{k}}$.

On pose ${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{c c}G_{k+1}=&G_{k}+p^{2^{k}}g_{k}\\H_{k+1}=&H_{k}+p^{2^{k}}h_{k}\\\end{array}}\right.}$

Vérifions que cela convient :

Par construction, ${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{c c}G_{k+1}=&G_{k}[p^{2^{k}}]\\H_{k+1}=&H_{k}[p^{2^{k}}]\\\end{array}}\right.}$

Les coefficients dominants de ${\displaystyle G_{k+1}}$ et ${\displaystyle H_{k+1}}$ sont ceux de ${\displaystyle G_{k}}$ et ${\displaystyle H_{k}}$ car ${\displaystyle g_{k}}$ et ${\displaystyle h_{k}}$ résultent d'une division euclidienne. Donc ${\displaystyle G_{k+1}}$ et ${\displaystyle H_{k+1}}$ sont unitaires et on vérifie par un simple calcul que ${\displaystyle P=G_{k+1}H_{k+1}~[p^{2^{k+1}}]}$.

Montrons enfin, en exhibant des coefficients de Bézout, que ${\displaystyle G_{k+1}}$ et ${\displaystyle H_{k+1}}$ sont premiers entre eux.

On pose ${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{c c}U_{k+1}=&2U_{k}-G_{k+1}U_{k}^{2}~mod~H_{k+1}\\V_{k+1}=&2V_{k}-H_{k+1}V_{k}^{2}~mod~G_{k+1}\\\end{array}}\right.}$

On a : ${\displaystyle U_{k+1}G_{k+1}=1-(U_{k}G_{k+1}-1)^{2}~mod~H_{k+1}}$.

Et ${\displaystyle (U_{k}G_{k+1}-1)^{2}=(U_{k}p^{2^{k}}g_{k}-H_{k}V_{k})^{2}~modH_{k+1}=(U_{k}p^{2^{k}}g_{k}-(H_{k+1}-p^{k}h_{k})V_{k})^{2}~modH_{k+1}=0}$, ce qui achève la preuve.

L'algorithme suivant permet de construire les polynômes ${\displaystyle G_{k},H_{k},U_{k},}$ et ${\displaystyle V_{k}}$ du lemme.

Entrée : p un nombre premier, k un entier, ${\displaystyle P,G,H,U,V}$ des polynômes avec ${\displaystyle P=GH~[p]}$ et ${\displaystyle GU+HV=1~[p]}$ 
Sortie : ${\displaystyle G,H,U,V}$ tels que ${\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}$ et ${\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}$

Pour i = 1 à k-1
  ${\displaystyle R\leftarrow {\dfrac {P-GH}{p^{2^{i}}}}}$
  ${\displaystyle H\leftarrow H+p^{2^{i}}}$*Div_Euclide${\displaystyle (UR,H)}$
  ${\displaystyle G\leftarrow G+p^{2^{i}}}$*Div_Euclide${\displaystyle (VR,G)}$
  ${\displaystyle U\leftarrow }$Div_Euclide${\displaystyle (2U-U^{2}G,H)}$
  ${\displaystyle V\leftarrow }$Div_Euclide${\displaystyle (2V-V^{2}H,G)}$
retourne ${\displaystyle (G,H,U,V)}$

Notes et références

1. (en) Akhil Mathew, « Completions », sur CRing project.
2. (en) David Eisenbud, Commutative Algebra : with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, coll. « GTM » (n^o 150), 1995, 785 p. (ISBN 978-0-387-94269-8, lire en ligne), p. 189-190 signale que l'hypothèse « local » n'est pas nécessaire (l'énoncé vaut alors pour tout idéal M de A), et étend la preuve d'existence (sans unicité) au cas où A n'est pas commutative, mais seulement pour une famille au plus dénombrable.
3. C'est-à-dire dont les produits deux à deux sont nuls.
4. Abuaf Roland et Boyer Ivan, « Factorisation dans ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ », Exposé de maîtrise proposé par François Loeser,‎ 20 juin 2007 (lire en ligne)