Inégalité de Poincaré

En mathématiques, l'inégalité de Poincaré^[1] (du nom du mathématicien français Henri Poincaré) est un résultat de la théorie des espaces de Sobolev.

Cette inégalité permet de borner une fonction à partir d'une estimation sur ses dérivées et de la géométrie de son domaine de définition. Ces estimations sont d'une grande importance pour la méthode moderne directe du calcul des variations. Un résultat voisin est l'inégalité de Friedrichs (en).

L'inégalité de Poincaré classique

Soit p, tel que 1 ≤ p < ∞ et Ω un ouvert de largeur finie (borné dans une direction). Alors il existe une constante C, dépendant uniquement de Ω et p, telle que, pour toute fonction u de l'espace de Sobolev W₀^1,p(Ω),

${\displaystyle \|u\|_{\mathrm {L} ^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{\mathrm {L} ^{p}(\Omega )}.}$

L'inégalité de Poincaré-Wirtinger

Soient p, tel que 1 ≤ p ≤ ∞ et Ω un domaine (en) (c'est-à-dire un ouvert connexe) lipschitzien (c'est-à-dire borné et « à frontière lipschitzienne ») de l'espace euclidien Rⁿ. Alors il existe une constante C, dépendant uniquement de Ω et p, telle que, pour toute fonction u de l'espace de Sobolev W^1,p(Ω),

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{\mathrm {L} ^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{\mathrm {L} ^{p}(\Omega )},}$

où

${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$

est la valeur moyenne de u sur Ω, le nombre |Ω| désignant la mesure de Lebesgue du domaine Ω.

Généralisations

L'inégalité de Poincaré peut se généraliser à d'autres espaces de Sobolev. Par exemple, l'inégalité de Poincaré suivante^[2] est associée à l'espace de Sobolev H^1/2(T²), c.-à-d. l'espace des fonctions u de l'espace L² du tore unitaire T² dont la transformée de Fourier la fonction ${\displaystyle {\hat {u}}}$ satisfait

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty }$.

Il existe une constante C telle que, pour toute fonction u ∈ H^1/2(T²) nulle sur un ouvert E de T²,

${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$

où cap(E × {0}) représente la capacité harmonique (en) de E × {0} vu comme sous-ensemble de R³.

Constante de Poincaré

La constante optimale C dans l'inégalité de Poincaré est parfois appelée constante de Poincaré du domaine Ω. En général, déterminer la constante de Poincaré est une tâche très difficile qui dépend de la valeur de p et de la géométrie du domaine Ω. Dans certains cas des bornes peuvent être données. Par exemple, si Ω est un domaine lipschitzien convexe de diamètre d, alors la constante de Poincaré vaut au plus d/2 pour p = 1, d/π pour p = 2^[3].

Cependant il est possible de déterminer concrètement la constante C pour certains cas particuliers. Par exemple, pour p = 2 :

• en dimension 2, il est bien connu^[4] que sur le domaine du triangle isocèle rectangle unitaire, C = 1/π ( < d/π où d = √2) ;
• en dimension 1, l'inégalité de Wirtinger donne, pour un intervalle de longueur d, C = d/(2π) ( < d/π).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Poincaré inequality » (voir la liste des auteurs).

1. H. Poincaré (Equation (11) page 253), « Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique », American Journal of Mathematics, vol. 12, n^o 3,‎ 1890, p. 211–294 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2369620, lire en ligne, consulté le 5 juillet 2020)
2. (en) Adriana Garroni et Stefan Müller, « Γ-limit of a phase-field model of dislocations », SIAM J. Math. Anal., vol. 36,‎ 2005, p. 1943–1964 (electronic) (DOI 10.1137/S003614100343768X, MR 2178227).
3. (en) Gabriel Acosta et Ricardo G. Durán, « An optimal Poincaré inequality in L¹ for convex domains », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 132, n^o 1,‎ 2004, p. 195–202 (lire en ligne).
4. Cf. par exemple (en) Kikuchi Fumio et Liu Xuefeng, « Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements », Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg., vol. 196,‎ 2007, p. 3750–3758 (ISSN 0045-7825, DOI 10.1016/j.cma.2006.10.029, MR 2340000).

Voir aussi

Bibliographie

(en) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence (R.I.), AMS, coll. « GSM » (n^o 19), 2010 (1^re éd. 1998), 749 p. (ISBN 978-0-8218-4974-3, lire en ligne)

Article connexe

• Inégalité de Korn
• Inégalité de Brascamp-Lieb (en)