Cet article est une ébauche concernant l’analyse.
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En géométrie différentielle, une immersion est une application différentiable d'une variété différentielle dans une autre, dont la différentielle en tout point est injective.
Soient V {\displaystyle V} et W {\displaystyle W} deux variétés, x {\displaystyle x} un point de V {\displaystyle V} et f {\displaystyle f} une application différentiable de V {\displaystyle V} dans W {\displaystyle W} .
On dit que f {\displaystyle f} est une immersion au point x {\displaystyle x} si l'application linéaire tangente T f ( x ) {\displaystyle Tf(x)} est injective, autrement dit, en supposant V {\displaystyle V} de dimension finie, si le rang de l'application linéaire tangente T f ( x ) {\displaystyle Tf(x)} est égal à la dimension de V {\displaystyle V} .
Dès lors, f {\displaystyle f} est une immersion (ou une application immersive) si pour tout x ∈ V {\displaystyle x\in V} , f {\displaystyle f} est une immersion au point x {\displaystyle x} .
On la différencie :
Soit U {\displaystyle U} une partie ouverte de R p {\displaystyle {\mathbb {R}}^{p}} , f {\displaystyle f} une immersion injective de U {\displaystyle U} dans R n {\displaystyle {\mathbb {R}}^{n}} . On suppose que l'application f − 1 {\displaystyle f^{-1}} de V = f ( U ) {\displaystyle V=f(U)} sur U {\displaystyle U} est continue. Alors V {\displaystyle V} est une variété de R n {\displaystyle {\mathbb {R}}^{n}} de dimension p {\displaystyle p} [1].