Espace à base dénombrable

En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. La plupart des espaces usuels de l'analyse et beaucoup d'espaces en analyse fonctionnelle sont à base dénombrable.

Propriétés

• Tout espace à base dénombrable est à la fois séparable, à bases dénombrables de voisinages et de Lindelöf^[1] (en particulier, pour un espace à base dénombrable, les trois propriétés quasi-compact/dénombrablement compact/séquentiellement compact sont équivalentes).
• La réciproque est fausse : il existe même des espaces compacts^[2] séparables et à base dénombrable de voisinages qui ne sont pas à base dénombrable, comme l'espace de Helly (en)^[3]. Cependant :
  • pour un espace pseudométrisable (par exemple : un groupe topologique à bases dénombrables de voisinages) les trois propriétés Lindelöf/séparable/à base dénombrable sont équivalentes (cette équivalence ne s'étend pas à tous les espaces uniformisables à bases dénombrables de voisinages : voir Droite de Sorgenfrey) ;
  • en particulier, tout espace métrique compact est à base dénombrable. Inversement, un théorème d'Urysohn affirme que tout espace régulier^[2] (en particulier tout espace localement compact^[2]) à base dénombrable est métrisable.
• La propriété d'être à base dénombrable est clairement préservée par sous-espace et par image par une application ouverte continue, mais pas par quotients (par exemple : le bouquet de cercles ℝ/ℤ n'est même pas à base dénombrable de voisinages).
• Un produit d'espaces est à base dénombrable si et seulement si tous les facteurs le sont et si tous sont grossiers sauf un ensemble au plus dénombrable d'entre eux^[4].
• La topologie d'un espace à base dénombrable a au plus la puissance du continu.
• Tout espace métrisable à base dénombrable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace de l'espace de Cantor.
• Théorème de Radó : toute surface de Riemann connexe est à base dénombrable.

Notes et références

1. Voir Lemme de Lindelöf.
2. Un tel espace est (par définition) séparé.
3. L'espace des fonctions croissantes de [0, 1] dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple : (en) Lech Drewnowski, « Continuity of monotone functions with values in Banach lattices », dans K. D. Bierstedt, J. Bonet, M. Maestre et J. Schmets, Recent Progress in Functional Analysis, Elsevier, 2001 (ISBN 978-0-08051592-2, lire en ligne), p. 185-200 (p. 196).
4. (en) K. D. Joshi, Introduction To General Topology, New Age International, 1983, 412 p. (ISBN 978-0-85226-444-7, lire en ligne), p. 213.

Article connexe

Fonctions cardinales d'un espace topologique