Dualité de Hodge

En algèbre linéaire, l'opérateur de Hodge, introduit par William Vallance Douglas Hodge, est un opérateur sur l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l'élément auquel l'opérateur est appliqué. On parle ainsi d'étoile de Hodge. Si la dimension de l'espace est n, l'opérateur établit une correspondance entre les k-vecteurs et les (n-k)-vecteurs, appelée dualité de Hodge.

En géométrie différentielle, l'opérateur de Hodge peut être étendu aux fibrés vectoriels riemanniens orientés. Appliqué à l'espace cotangent des variétés riemanniennes orientées, l'opérateur de Hodge permet de définir une norme L² sur l'espace des formes différentielles. La codifférentielle se définit alors comme l'adjoint forme de la dérivée extérieure. Cette codifférentielle intervient notamment dans la définition des formes harmoniques.

Définition

Opérateur de Hodge sur les k-vecteurs

Soit E espace vectoriel euclidien orienté de dimension finie n. Les sous-espaces ${\displaystyle \wedge ^{k}E}$ et ${\displaystyle \wedge ^{n-k}E}$ des k-vecteurs et des n-k vecteurs sont de même dimension, à savoir le coefficient binomial ${\displaystyle n \choose k}$. Il est possible de définir un isomorphisme linéaire noté * entre ces deux espaces et appelé opérateur de Hodge.

Pour toute base orthonormale directe ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$,

${\displaystyle *(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \ldots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

Il s'étend ensuite par linéarité à toute l'algèbre extérieure. Cette définition est peu satisfaisante puisqu'elle fait intervenir des bases, même si on peut montrer que la définition ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie. Elle a néanmoins l'avantage de bien décrire le comportement de l'opérateur de Hodge sous forme de complétion de base orthonormale directe.

Une définition plus convenable consiste à faire intervenir la forme volume ω de l'espace vectoriel euclidien orienté E. Le dual de Hodge s'obtient en effectuant la contraction

${\displaystyle \;*\;X=\langle \omega ,X\rangle }$

Dualité

Pour un k-vecteur ${\displaystyle \eta \in \Lambda ^{k}(E)}$ de l'espace E de dimension n, appliquer deux fois l'opérateur de Hodge donne l'identité, au signe près

${\displaystyle **\eta =(-1)^{k(n-k)}\;\eta }$

Applications

Produit scalaire sur l'algèbre extérieure

L'opérateur de Hodge permet de définir un produit scalaire sur l'algèbre extérieure par la relation

${\displaystyle \zeta \wedge *\eta =\langle \zeta |\eta \rangle \;*1=\langle \zeta |\eta \rangle \;{\overline {\omega }}}$

Pour ce produit scalaire, les k-vecteurs obtenus par produit extérieur à partir de la base orthonormale de E constituent une base orthonormale de ΛE.

Codifférentielle

Extension aux espaces quadratiques

Il est possible de définir un opérateur de Hodge pour un espace quadratique. La formule de dualité est alors modifiée pour prendre en compte la signature de la forme quadratique sur E. Précisément, on multiplie le second membre par le discriminant de cette forme quadratique. Ainsi si n=4 et si la signature est (+,−,−,−) ou (−,+,+,+), l'exposant est k(n-k)+1.

Bibliographie

• (en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2002 [détail des éditions]
• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]
• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, 2003 [détail de l’édition]